Многогранники основные понятия свойства и признаки тел. Многогранники. Теорема Эйлера о многогранниках. Топологически правильные и неправильные многогранники. III. Задание на дом
Куб, шар, пирамида, цилиндр, конус - геометрические тела. Среди них выделяют многогранники. Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Каждый из этих многоугольников называется гранью многогранника, стороны и вершины этих многоугольников - соответственно ребрами и вершинами многогранника.
Двугранные углы между соседними гранями, т.е. гранями, имеющими общую сторону - ребро многогранника - являются также и двугранными умами многогранника. Углы многоугольников - граней выпуклого многоугольника - являются плоскими умами многогранника. Кроме плоских и двугранных углов у выпуклого многогранника имеются еще и многогранные углы. Эти углы образуют грани, имеющие общую вершину.
Среди многогранников различают призмы и пирамиды.
Призма - это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований.
Два равных многоугольника называются основаниями ггризмьг, а параллелограммы - ее боковыми гранями. Боковые грани образуют боковую поверхность призмы. Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы.
Призму называют п-угольной, если ее основаниями являются я-угольники. На рис. 24.6 изображена четырехугольная призма АВСDА"В"С"D".
Призму называют прямой, если ее боковыми гранями являются прямоугольники (рис. 24.7).
Призму называют правильной , если она прямая, а ее основания - правильные многоугольники.
Четырехугольную призму называют параллелепипедом , если ее основания - параллелограммы.
Параллелепипед называют прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.
Диагональ параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. У параллелепипеда четыре диагонали.
Доказано, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Пирамида - это многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника - основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды. Общая вершина этих треугольников называется вершиной пирамиды, ребра, выходящие из вершины, - боковыми ребрами пирамиды.
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пирамиды.
Простейшая пирамида - треугольная или тетраэдр (рис. 24.8). Особенность треугольной пирамиды состоит в том, что любую грань можно рассматривать как основание.
Пирамиду называют правильной, если в основании ее лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.
Заметим, что следует различать правильный тетраэдр (т.е. тетраэдр, у которого все ребра равны между собой) и правильную треугольную пирамиду (в ее основании лежит правильный треугольник, а боковые ребра равны между собой, но их длина может отличаться от длины стороны треугольника, который является основанием призмы).
Различают выпуюше и невыпуклые многогранники. Определить выпуклый многогранник можно, если воспользоваться понятием выпуклого геометрического тела: многогранник называют выпуклым. если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.
Можно определить выпуклый многогранник иначе: многогранник называют выпуклым, если он полностью лежит по одну сторону от каждого из ограничивающих его многоугольников.
Данные определения равносильны. Доказательство этого факта не приводим.
Все многогранники, которые до сих пор рассматривались, были выпуклыми (куб, параллелепипед, призма, пирамида и др.). Многогранник, изображенный на рис. 24.9, выпуклым не является.
Доказано, что в выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.
Рассмотрим несколько выпуклых многогранников (таблица 24.1)
Из этой таблицы следует, что для всех рассмотренных выпуклых многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказалось, что оно справедливо и для любого выпуклого многогранника. Впервые это свойство было доказано Л.Эйлером и получило название теоремы Эйлера.
Выпуклый многогранник называют правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Используя свойство выпуклого многогранного угла, можно доказать, что различных видов правильных многогранников существует не более пяти.
Действительно, если фан и многогранника - правильные треугольники, то в одной вершине их может сходиться 3, 4 и 5, так как 60" 3 < 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.
Если в каждой вершине многофанника сходится три правильных треугольника, то получаем правшш/ый тетраэдр, что в переводе с феческого означает «четырехгранник» (рис. 24.10, а).
Если в каждой вершине многогранника сходится четыре правильных треугольника, то получаем октаэдр (рис. 24.10, в). Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников.
Если в каждой вершине многогранника сходится пято правильных треугольников, то получаем икосаэдр (рис. 24.10, г). Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников.
Если грани многофанника - квадраты, то в одной вершине их может сходиться только три, так как 90° 3 < 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаэдром (рис. 24.10, б).
Если граани многофанника - правильные пятиугольники, то в одной вершине их может сходиться только фи, так как 108° 3 < 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаэдром (рис. 24.10, д). Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников.
Шестиугольными и более грани многогранника не могут быть, так как даже для шестиугольника 120° 3 = 360°.
В геометрии доказано, что в трехмерном евклидовом пространстве существует ровно пять различных видов правильных многогранников’.
Чтобы изготовить модель многогранника, нужно сделать его развертку (точнее развертку его поверхности).
Развертка многогранника - это фигура на плоскости, которая получается, если поверхность многогранника разрезать но некото рым ребрам и развернуть ее так, чтобы все многоугольники, входящие в эту поверхность, лежали в одной плоскости.
Отметим, что многогранник может иметь несколько различных разверток в зависимости от того, какие ребра мы разрезали. На рисунке 24.11 показаны фиг"уры, которые являются различными развертками правильной четырехугольной пирамиды, т.е. пирамиды, в основании которой лежит квадрат, а все боковые ребра равны между собой.
Чтобы фигура на плоскости была разверткой выпуклого многогранника, она должна удовлетворять ряду требований, связанных с особенностями многогранника. Например, фигуры на рис. 24.12 не являются развертками правильной четырехугольной пирамиды: в фигуре, изображенной на рис. 24.12, а, в вершине М сходятся четыре грани, чего не может быть в правильной четырехугольной пирамиде; а в фигуре, изображенной на рис. 24.12, б, боковые ребра А В и ВС не равны.
Вообще, развертку многогранника можно получить путем разрезания его поверхности не только по ребрам. Пример такой развертки куба приведен на рис. 24.13. Поэтому более точно развертку многогранника можно определить как плоский многоугольник, из которого может быть сделана поверхность этого многогранника без перекрытий.
Тела вращения
Телом вращения называют тело, полученное в результате вращения некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой. Эту прямую называют осью вращения.
Цилиндр - эго тело, которое получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом указанная сторона является осью цилиндра. На рис. 24.14 изображен цилиндр с осью ОО’, полученный в результате вращения прямоугольника АА"О"О вокруг прямой ОО". Точки О и О" - центры оснований цилиндра.
Цилиндр, который получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, называют прямым круговым цилиндром, так как его основаниями являются два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезок, соединяющий центры кругов, перпендикулярен этим плоскостям. Боковую поверхность цилиндра образуют отрезки, равные стороне прямоугольника, параллельной оси цилиндра.
Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра, если ее разрезать по образующей, является прямоугольник, одна сторона которого равна длине образующей, а другая - длине окружности основания.
Конус - это тело, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
При этом указанный катет неподвижен и называется осью конуса. На рис. 24.15 изображен конус с осью SO, полученный в результате вращения прямоугольного треугольника SOA с прямым углом О вокруг катета S0. Точку S называют вершиной конуса, ОА - радиусом его основания.
Конус, который получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, называют прямым круговым конусом, гак как его основанием является круг, а вершина проектируется в центр этого круга. Боковую поверхность конуса образуют отрезки, равные гипотенузе треугольника, при вращении которого образуется конус.
Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей, то ее можно «развернуть» на плоскость. Разверткой боковой поверхности прямого кругового конуса является круговой сектор с радиусом, равным длине образующей.
При пересечении цилиндра, конуса или любого другого тела вращения плоскостью, содержагцей ось вращения, получается осевое сечение. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник.
Шар - это тело, которое получается в результате вращения полукруг а вокруг его диаметра. На рис. 24.16 изображен шар, полученный в результате вращения полукруга вокруг диаметра АА". Точку О называют центром шара, а радиус круга является радиусом шара.
Поверхность шара называют сферой. Сферу развернуть на плоскость нельзя.
Любое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения шара будет наибольшим, если плоскость проходит через центр шара. Поэтому сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом шара, а окружность, его ограничивающая, - большой окружностью.
ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
В отличие от плоских фигур геометрические тела невозможно точно изобразить, например, на листе бумаги. Однако с помощью чертежей на плоскости можно получить достаточно наглядное изображение пространственных фигур. Для этого используются специальные способы изображения таких фигур на плоскости. Одним из них является параллельное проектирование.
Пусть даны плоскость а и пересекающая се прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку Л", не принадлежащую прямой а, и проведем через X прямую а", параллельную прямой а (рис. 24.17). Прямая а" пересекает плоскость в некоторой точке X", которая называется параллельной проекцией точки X на плоскость а.
Если точка А"лежит на прямой а, то се параллельной проекцией X" является точка, в которой прямая а пересекает плоскость а.
Если точка X принадлежит плоскости а, то точка X" совпадает с точкой X.
Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а. то каждой точке X пространства можно поставить в соответствие единственную точку А" - параллельную проекцию точки X на плоскость а (при проектировании параллельно прямой а). Плоскость а называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она залает направление проектирования - ггри замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задаюз одно и то же направление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.
Проекцией фигуры F называют множество F‘ проекцией всех се точек. Отображение, сопоставляющее каждой точке X фигуры F "ее параллельную проекцию - точку X" фигуры F", называется параллельным проектированием фигуры F (рис. 24.18).
Параллельной проекцией реального предмета является его тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.
Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание которых необходимо при изображении геометрических тел на плоскости. Сформулируем основные, не приводя их доказательства.
Теорема 24.1. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:
1) проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок;
2) проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;
3) отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.
Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.
При изображении геометрических тел на плоскости необходимо следить за выполнением указанных свойств. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непараллельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается произвольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то па проекции его медианы должны соединять вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
И еще одно требование необходимо соблюдать при изображении пространственных тел на плоскости - способствовать созданию верного представления о них.
Изобразим, например, наклонную призму, основаниями которой являются квадраты.
Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать и с верхнего). По правилам параллельного проектирования огго изобразится произвольным параллелограммом АВСD (рис. 24.19, а). Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные прямые, проходящие через вершины построенного параллелограмма и откладываем на них равные отрезки АА", ВВ’, СС", DD", длина которых произвольна. Соединив последовательно точки А", В", С", D", получим четырехугольник А"В"С"D", изображающий верхнее основание призмы. Нетрудно доказать, что А"В"С"D" - параллелограмм, равный параллелограмму АВСD и, следовательно, мы имеем изображение призмы, основаниями которой являются равные квадраты, а остальные грани - параллелограммы.
Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой являются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы перпендикулярны основанию, можно так, как это сделано на рис. 24.19, б.
Кроме тог о, чертеж на рис. 24.19, б можно считать изображением правильной призмы, так как ее основанием является квадрат - правильный четырехугольник, а также - прямоугольным параллелепипедом, поскольку все его грани - прямоугольники.
Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.
Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят правильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображающий высоту пирамиды. Заметим, что вертикальность отрезка OS обеспечивает большую наглядность рисунка. И наконец, точку S соединяют со всеми вершинами основания.
Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием которой является правильный шестиугольник.
Чтобы верно изобразить при параллельном проектировании правильный шестиугольник, надо обратить внимание на следующее. Пусть АВСDЕF - правильный шестиугольник. Тогда ВСЕF - прямоугольник (рис. 24.20) и, значит, при параллельном проектировании он изобразится произвольным параллелограммом В"С"Е"F". Так как диагональ АD проходит через точку О - центр многоугольника АВСDЕF и параллельна отрезкам. ВС и ЕF и АО= ОD, то при параллельном проектировании она изобразится произвольным отрезком А"D", проходящим через точку О" параллельно В"С" и Е"F" и, кроме того, А"О" = О"D".
Таким образом, последовательность построения основания шестиугольной пирамиды такова (рис. 24.21):
§ изображают произвольный параллелограмм В"С"Е"F" и его диагонали; отмечают точку их пересечения O";
§ через точку О" проводят прямую, параллельную В’С" (или Е"F’);
§ на построенной прямой выбирают произвольную точку А" и отмечают точку D" такую, что О"D" = А"О", и соединяют точку А" с точками В" и F ", а точку D" - с точками С" и Е".
Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикальный отрезок ОS (его длина выбирается произвольно) и соединяют точку S со всеми вершинами основания.
При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более наглядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 24.22). Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикулярен плоскости экватора. Для этого через точку О проводим прямую, перпендикулярную АВ и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касательную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстояние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОN и OS, равные СМ, получим полюсы N и S.
Рассмотрим один из приемов построения эллипса (он основан на преобразовании плоскости, которое называется сжатием): строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диаметру (рис. 24.23). Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая - эллипс, большой осью которого является отрезок АВ, а центром - точка О.
Этот прием мЬжно использовать, изображая на плоскости прямой круговой цилиндр (рис. 24.24) и прямой круговой конус (рис. 24.25).
Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эллипс - основание, затем находят центр основания - точку О и перпендикулярно проводят отрезок OS, который изображает высоту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это делают «на глаз», прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС и SD этих прямых от точки S до точек касания С и D. Заметим, что отрезок СD не совпадает с диаметром основания конуса.
Трёхгранные и многогранные углы:
Трёхгранным углом называется фигура
образованная тремя плоскостями, ограниченными тремя лучами, исходящими из
одной точки и не лежащей в одной
плоскости.
Рассмотрим какой-нибудь плоский
многоугольник и точку лежащую вне
плоскости этого многоугольника.
Проведём из этой точки лучи,
проходящие через вершины
многоугольника. Мы получим фигуру,
которая называется многогранным
углом.
ограниченная тремя плоскими углами с общей
вершиной
и
попарно
общими
сторонами,
не
лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих
углов
называется
вершиной
трёхгранного
угла.
Стороны углов называются рёбрами, плоские углы
при вершине трёхгранного угла называются его
гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла
образует двугранный уголОсновные свойства трехгранного угла
1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы
двух других его плоских углов.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - плоские углы,
A, B, C - двугранные углы, составленные плоскостями
углов β и γ, α и γ, α и β.
2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше
360 градусов
3. Первая теорема косинусов
для трёхгранного угла
4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла,
5. Теорема синусов
Многогранный угол, внутренняя область которого
расположена по одну сторону от плоскости каждой из
его граней, называется выпуклым многогранным
углом. В противном случае многогранный угол
называется невыпуклым. Многогранник- это тело, поверхность
которого состоит из конечного числа
плоских многоугольников.Элементы многогранника
Грани многогранника - это
многоугольники, которые его
образуют.
Ребра многогранника - это стороны
многоугольников.
Вершины многогранника - это
вершины многоугольника.
Диагональ многогранника - это
отрезок, соединяющий 2 вершины,
не принадлежащие одной грани.Многогранники
выпуклый
невыпуклый Многогранник называется выпуклым,
если он расположен по одну сторону
плоскости каждого многоугольника на его
поверхности.
10. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклойфигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и
соединяющий их отрезок.
На рисунке приведены примеры
выпуклого
и
невыпуклого
многогранных углов.
Теорема. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
11. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Многогранник угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой,т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий
их отрезок.
Куб, параллелепипед, треугольные призма и пирамида являются выпуклыми
многогранниками.
На рисунке приведены примеры выпуклой и невыпуклой пирамиды.
12. СВОЙСТВО 1
Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являютсявыпуклыми многоугольниками.
Действительно, пусть F - какая-нибудь грань многогранника
M, и точки A, B принадлежат грани F. Из условия выпуклости
многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится
в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости
многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом
многоугольнике, т. е. F - выпуклый многоугольник.
13. СВОЙСТВО 2
Свойство 2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен изпирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность
многогранника.
Действительно, пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь
внутреннюю точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не
принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с
вершинами многогранника M отрезками. Заметим, что в силу выпуклости
многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с
вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти
пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.
14. Правильные многогранники
Если грани многогранника являютсяправильными многоугольниками с одним и
тем же числом сторон и в каждой вершине
многогранника сходится одно и то же число
ребер, то выпуклый многогранник
называется правильным.
15. Названия многогранников
пришли из Древней Греции,в них указывается число граней:
«эдра» грань;
«тетра» 4;
«гекса» 6;
«окта» 8;
«икоса» 20;
«додека» 12.
16. Правильный тетраэдр
Рис. 1Составлен из четырёх
равносторонних
треугольников. Каждая
его вершина является
вершиной трёх
треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
180º.
17.
Правильный октаэдрРис. 2
Составлен из восьми
равносторонних
треугольников. Каждая
вершина октаэдра
является вершиной
четырёх треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине 240º.
18.
Правильный икосаэдрРис. 3
Составлен из двадцати
равносторонних
треугольников. Каждая
вершина икосаэдра
является вершиной пяти
треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
300º.
19. Куб (гексаэдр)
Рис.4
Составлен из шести
квадратов. Каждая
вершина куба является
вершиной трёх квадратов.
Следовательно, сумма
плоских углов при каждой
вершине равна 270º.
20.
Правильный додекаэдрРис. 5
Составлен из двенадцати
правильных
пятиугольников. Каждая
вершина додекаэдра
является вершиной трёх
правильных
пятиугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
324º.
21.
Таблица № 1Правильный
многогранник
Число
граней
вершин
рёбер
Тетраэдр
4
4
6
Куб
6
8
12
Октаэдр
8
6
12
Додекаэдр
12
20
30
Икосаэдр
20
12
30
22.
Формула ЭйлераСумма числа граней и вершин любого
многогранника
равна числу рёбер, увеличенному на 2.
Г+В=Р+2
Число граней плюс число вершин минус число
рёбер
в любом многограннике равно 2.
Г+В Р=2
23.
Таблица № 2Число
Правильный
многогранник
Тетраэдр
граней и
вершин
(Г + В)
рёбер
(Р)
4+4=8
6
«тетра» 4;
Куб
6 + 8 = 14
12
«гекса»
6;
Октаэдр
8 + 6 = 14
12
«окта»
Додекаэдр
12 + 20 = 32
30
додека»
12.
30
«икоса»
20
Икосаэдр
20 + 12 = 32
8
24.
25.
26. Двойственность правильных многогранников
Гексаэдр (куб) и октаэдр образуютдвойственную пару многогранников. Число
граней одного многогранника равно числу
вершин другого и наоборот.
27.
Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник свершинами в центрах его граней. Как нетрудно
убедиться, получим октаэдр.
28.
Центры граней октаэдра служат вершинами куба.29.
Многогранники в природе, химии и биологииКристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников.
Кристалл
пирита-
природная
модель
додекаэдр.
Кристаллы
поваренной
соли передают
форму куб.
Монокристалл
Сурьменистый
Хрусталь
алюминиевосернокислый
(призма)
калиевых квасцов натрий – тетраэдра.
имеет форму
октаэдра.
В молекуле
метана имеет
форму
правильного
тетраэдра.
Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы
вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы
установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет
под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один
многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.
В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем
октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец,
самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет
собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!
30.
Многогранники в искусстве«Портрет Монны Лизы»
Композиция рисунка основана на золотых
треугольниках, являющихся частями
правильного звездчатого пятиугольника.
гравюра «Меланхолия»
На переднем плане картины
изображен додекаэдр.
«Тайная Вечеря»
Христос со своими учениками изображён на
фоне огромного прозрачного додекаэдр.
31.
Многогранники в архитектуреМузеи Плодов
Музеи Плодов в Яманаши создан с помощью
трехмерного моделирования.
Пирамиды
Александрийский маяк
Спасская башня
Кремля.
Четырехъярусная Спасская башня с церковью Спаса
Нерукотворного - главный въезд в Казанский кремль.
Возведена в XVI веке псковскими зодчими Иваном
Ширяем и Постником Яковлевым по прозванию
«Барма». Четыре яруса башни представляют из себя
куб, многогранники и пирамиду.
Многогранниками называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.
Многогранники делятся на: выпуклые и невыпуклые.
Выпуклым многогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости.
Выпуклые многогранники делятся на : правильные и неправильные.
Правильный многогранник – выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.
Многогранник называется правильным, если:
Он выпуклый;
Все его грани являются равными правильными многоугольниками;
В каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.
Выпуклый многогранник называется топологически правильным , если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентнымимежду собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками.
Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.
Сколько же существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.
Существует 5 правильных многогранников:
Тетраэдр – составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=180°. Т.о., тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.
Куб – составлен из 6 квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине=270°. Т.о., куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.
Октаэдр – составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=240°. Т.о., октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.
Икосаэдр – составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=300°. Т.о., икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.
Додекаэдр – составлен из 12 равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=324°. Т.о., додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.
Правильные многогранники также называются платоновыми телами . Каждый из правильных многогранников Платон ассоциировал с 4 «земными» стихиями: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «наземным» элементом – небом (додекаэдр).
Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.
Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера.
Теорема Эйлера для многогранников – теорема, устанавливающая связь между числами вершин, ребер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере:
«Сумма числа граней и вершин = числу ребер, увеличенному на 2» - Г+В=Р+2 (данная формула верна для любых выпуклых многогранников).
Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n - угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней этого многогранника. Тогда
nГ = 2P; Г =2P/n; mB = 2P; В = 2P/m.
По теореме Эйлера, В - Р + Г = 2 и, следовательно, 2P/m-P+2P/n=2
Откуда Р = 2nm/(2n+2m-nm).
Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4.
Найдем всевозможные значения n и m , удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу
n m | |||
B=4, Р=6, Г=4 тетраэдр | В=6, Р=12, Г=8 октаэдр | В=12, Р=30, Г=20 икосаэдр | |
В=8, Р=12, Г=4 куб | Не существует | Не существует | |
В=20, Р=30, Г=12 додекаэдр | Не существует | Не существует |
Например, значения n =
3, m =
3 удовлетворяют неравенству (n –
2)(m
– 2) < 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.
Значения n =
4, m =
4 не удовлетворяют неравенству (n –
2)(m
– 2) < 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.
Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр).
Анализ учебных планов и программ по математике
Школьным учебным планом на изучение математики с 1 по 11 класс отводится около 2000 учебных часов. Дополнительные часы на изучение математики предусматриваются в системе факультативных курсов (8-11 классы).
Нормативным, обязательным для выполнения документом, определяющим основное содержание школьного курса математики, объем подлежащих усвоению учащимися каждого класса знаний, приобретаемых умений и навыков, явл. учебная программа.
Учебная программа школы основывается на принципах соответствия программы основным целям школы, обеспечивает преемственность получаемой учащимися подготовки в 1-3 классах (нач. школа), 5-9 классах, 10-11 классах.
Учащиеся, которые после окончания девятилетней школы будут завершать среднее образование в системе профессиональнотехнических училищ, в средних специальных учебных заведениях, в вечерних (заочных) школах, должны получить математическую подготовку в том же объеме, что и учащиеся, оканчивающие среднюю общеобраз. школу. Т.о., все учащиеся, получившие среднее образование, приобретают равную возможность для продолжения образования.
Предусмотренное программой содержание школьного математического образования, несмотря на происходящие в нем изменения, в течение достаточно длительного времени сохраняет свое основное ядро. Такая устойчивость основного содержания программы объясняется тем, что математика, приобретая в своем развитии много нового, сохраняет и все ранее накопленные научные знания, не отбрасывая их как устаревшие и ставшие ненужными.
"Ядро" современной программы по математике составляют:
1. Числовые системы. 2. Величины.
3. Уравнения и неравенства. 4. Тождественные преобразования математических выражений.
5. Координаты. 6. Функции.
7. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин. Геометрические преобразования. 8. Векторы.
9. Начала математического анализа. 10. Основы информатики и вычислительной техники.
Каждый из вошедших в это "ядро" разделов имеет свою историю развития как предмет изучения в средней школе. На каком возрастном этапе, в каких классах, с какой глубиной и при каком числе часов изучаются эти разделы, определяет программа по математике для средней школы.
Раздел "Числовые системы" изучается на протяжении всех лет обучения. В школьную программу вопросы числовых систем входили уже давно. Но с течением времени происходило снижение возраста, в котором учащиеся изучали включаемые в программу темы, возрастала глубина их изложения. В наст время изыскиваются возможности включения в программу заключительной темы этого раздела - "Комплексные числа".
Изучение величин в программах и учебниках по математике не выделено в специальный раздел. Но на протяжении всех лет обучения учащиеся выполняют действия с различными величинами при решении задач, особенно задач, отражающих связи курса математики с дисциплинами естественнонаучного, технического циклов.
Изучению уравнений и неравенств посвящается значительная часть всего учебного времени. Особая значимость темы состоит в широком применении уравнений и неравенств в самых различных областях приложений математики. До недавнего времени систематическое изучение уравнений начиналось лишь с 7 класса. В течение последних десятилетий знакомство с уравнениями и применение уравнений к решению задач вошло в курс математики начальной школы и 5-6 классов.
Выполнение тождественных преобразований, овладение специфическим языком математики требуют от учащихся не только понимания, но и отработки прочных практических навыков на достаточно большом числе тренировочных упражнений. Такие упражнения, содержание которых в каждом разделе курса обладает своими особенностями, выполняются учащимися всех классов.
Координаты и функции вошли в курс математики средней школы только в первой четверти XX в. Характерной особенностью современного школьного курса математики являются расширение этих разделов и возрастающая роль метода координат и функций в изучении других тем школьной программы.
Наибольшую остроту в обсуждении вопросов его содержания приобрел в последние десятилетия курс геометрии. Здесь в значительно больших размерах, чем в других разделах школьного курса математики, возникли проблемы соотношения традиционного содержания с необходимыми новыми дополнениями. Однако при всех различиях в подходах к решению этой проблемы получило общее одобрение включение в курс геометрических преобразований.
Векторы впервые вошли в курс геометрии нашей школы только в середине 70-х годов. Большая общеобразовательная значимость этой темы, обширные практические применения обеспечили ей общее признание. Однако вопросы доходчивого для всех учащихся изложения этого раздела в школьных учебниках, применения векторов к решению содержательных задач находятся еще в стадии разработки и могут найти свое решений только на основе глубокого анализа и учета результатов школьного преподавания.
Элементы математического анализа вошли в программу общеобразовательной школы недавно. Включение в программу этих разделов вызвано их большой прикладной значимостью.
Раздел основы информатики и вычислительной техники отражает требования, предъявляемые к современной математической подготовке молодежи в связи с широким внедрением в практику ЭВМ.
Часть геометрии, которую мы изучали до сих пор, называется планиметрией - эта часть была о свойствах плоских геометрических фигур, то есть фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.
Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией .
Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками .
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями . При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости.
Стороны граней называются рёбрами , а концы рёбер - вершинами многогранника.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми .
Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник - октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани - правильные треугольники.
На рисунке - невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника \(EDC\), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть - по другую сторону этой плоскости.
Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.
Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.
Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Прямую называют перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.
Призма
Теперь можем ввести определение призмы.
\(n\)-угольной призмой называют многогранник, составленный из двух равных \(n\)-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, и \(n\)-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин \(n\)-угольников отрезками параллельных прямых.
Равные \(n\)-угольники называют основаниями призмы.
Стороны многоугольников называют рёбрами оснований .
Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.
Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.
Призмы бывают прямыми и наклонными .
Если основания прямой призмы - правильные многоугольники, то такую призму называют правильной .
У прямых призм все боковые грани - прямоугольники. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.
Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.
На рисунке - наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота B 1 E .
В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.
На рисунке - прямая треугольная призма. Все боковые грани - прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.
На рисунке - правильная четырёхугольная призма. Основания призмы - квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
Четырёхугольная призма, основания которой - параллелограммы, называется параллелепипедом .
Вышеупомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть прямым параллелепипедом .
Если основания прямого параллелепипеда - прямоугольники, то этот параллелепипед - прямоугольный .
На рисунке - прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, AB , AD и A A 1 можно называть измерениями.
Так как треугольники ABC и AC C 1 - прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:
A C 1 2 = AB 2 + AD 2 + A A 1 2 .
Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют диагональным сечением призмы.
В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.
На рисунке - правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.
Основные формулы для расчётов в прямых призмах
1. Боковая поверхность S бок. = P осн. ⋅ H , где \(H\) - высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.
2. Полная поверхность S полн. = 2 ⋅ S осн. + S бок. . Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.
3. Объём V = S осн. ⋅ H . Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.
Пирамида
\(n\)-угольная пирамида - многогранник, составленный из \(n\)-угольника в основании и \(n\)-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.
\(n\)-угольник называют основанием пирамиды.
Треугольники - боковые грани пирамиды.
Общая вершина треугольников - вершина пирамиды.
Рёбра, выходящие из вершины - боковые рёбра пирамиды.
Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.
Муниципальное Образовательное Учреждение
Гимназия № 26
Геометрия
Основные виды многогранников и их свойства
Выполнила:
Ученица 9-1 класса
Байсакова Ляззат
Преподаватель:
Сысоева Елена Алексеевна
Челябинск
Введение
До настоящего времени в курсе геометрии мы занимались планиметрией - изучали свойства плоских геометрических фигур, то есть фигур, полностью расположенных в плоскости. Но большинство окружающих нас предметов не являются полностью плоскими, они расположены в пространстве. Раздел геометрии, в котором изучают свойства фигур в пространстве, называется стереометрией ( от др. греч. στερεός, "стереос" - "твёрдый, пространственный" и μετρέω - "измеряю").
Основными фигурами в пространстве являются точка , прямая и плоскость . Наряду с данными простейшими фигурами в стереометрии рассматриваются геометрические тела и их поверхности. При изучении геометрических тел, пользуются изображениями на чертеже.
Рисунок 1 Рисунок 2
На рисунке 1 изображена пирамида, на рисунке 2 - куб. Данные геометрические тела называются многогранниками. Рассмотрим некоторые виды и свойства многогранников.
Многогранная поверхность. Многогранник
Многогранной поверхностью называют объединение конечного числа плоских многоугольников такое, что каждая сторона любого из многоугольников является в то же время стороной другого (но только одного) многоугольника, называемого смежным с первым многоугольником.
От любого из многоугольников, составляющих многогранную поверхность, можно дойти до любого другого, двигаясь по смежным многоугольникам.
Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются ребрами, а вершины - вершинами многогранной поверхности.
На рис.1 изображены объединения многоугольников, удовлетворяющие указанным требованиям и являющиеся многогранными поверхностями. На рис.2 изображены фигуры, не являющиеся многогранными поверхностями.
Многогранная поверхность делит пространство на две части - внутреннюю область многогранной поверхности и внешнюю область. Из двух областей внешней будет та, в которой можно провести прямые, целиком принадлежащие области.
5 Объединение многогранной поверхности и ее внутренней области называют многогранником. При этом многогранную поверхность и ее внутреннюю область называют соответственно поверхностью и внутренней областью многогранника. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника называют соответственно гранями, ребрами и вершинами многогранника.
Пирамида
Многогранник, одна из граней которого - произвольный многогранник, а остальные грани - треугольники, имеющие одну общую вершину, называется пирамидой.
Многоугольник называется основанием пирамиды, а остальные грани (треугольники) называются боковыми гранями пирамиды.
Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. пирамиды в зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
Треугольную пирамиду также называют тетраэдром. На рис.1 изображена четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD и боковыми гранями SAB, SBC, SCD, SAD.
Стороны граней пирамиды называются ребрами пирамиды. Ребра, принадлежащие основанию пирамиды, называют ребрами основания, а все остальные ребра - боковыми ребрами. Общая вершина всех треугольников (боковых граней) называется вершиной пирамиды (на рис.1 точка S - вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC, SD - боковые ребра, отрезки АВ, ВС, CD, AD - ребра основания).
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды S к плоскости основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра). На рис.1 SO - высота пирамиды.
Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой; все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. На рис.2 SN - апофема. Все апофемы правильной пирамиды равны между собой.
Призма
Многогранник, две грани которого - равные n -угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы, называетсяn -угольной призмой.
многогранник пирамида призма параллелепипед
Пару равных n -угольников называют основаниями призмы. Остальные грани призмы называют ее боковыми гранями, а их объединение - боковой поверхностью призмы. На рис.1 изображена пятиугольная призма.
Стороны граней призмы называют ребрами, а концы ребер - вершинами призмы. Ребра, не принадлежащие основанию призмы, называют боковыми ребрами.
Призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называют прямой призмой. В противном случае призма называется наклонной.
Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований призмы, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.
Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной призмой.
Параллелепипед
Параллелепипед - шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 рёбер; его грани представляют собой попарно равные параллелограммы.
Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (в этом случае 4 боковые грани - прямоугольники); прямоугольным, если этот параллелепипед прямой и основанием служит прямоугольник (следовательно, 6 граней - прямоугольники);
Параллелепипед , все грани которого квадраты, называется кубом.
Объём Параллелепипед равен произведению площади его основания на высоту.
Объем тела
Каждый многогранник имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов принимают куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром . Аналогично определяется кубический метр и кубический миллиметр , и т.д.
В процессе измерения объемов при выбранной единице измерения объем тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и ее частей укладывается в этом теле. Число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов. Поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа.
Основные свойства объемов:
1. Равные тела имеют равные объемы.
2. Если тело составлено из нескольних тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.
Для нахождения объемов тел в ряде случаев удобно пользоваться теоремой, получившей название принцип Кавальери .
Принцип Кавальери состоит в следующем: если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объёмы тел равны между собой.
Заключение
Итак, многогранники изучает раздел геометрии под названием стереометрия. Многогранники бывают разных видов (пирамида, призма и т.д.) и имеют разные свойства. Также, следует отметить, что многогранники в отличие от плоских фигур имеют объем и располагаются в пространстве.
Большинство окружающих нас предметов находятся в пространстве, и изучение многогранников помогает нам составить представление об окружающей нас реальности с точки зрения геометрии.
Список используемой литературы
1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов.
3. Википедия
- В списках значатся: опубликованы списки зачисленных по «первой волне
- Учреждение начального профессионального образования Является ли начальное профессиональное образование
- Панельная дискуссия «Единое образовательное пространство и персонализация образования Воспитание толерантности: возможно ли оно
- Многогранники основные понятия свойства и признаки тел