Подсчет относительной погрешности. Абсолютная и относительная погрешность вычислений
Систематические погрешности . Систематические ошибки закономерным образом изменяют значения измеряемой величины. Наиболее просто поддаются оценке погрешности, вносимые визмерения приборами, если они связаны с конструктивными особенностями самих приборов. Эти погрешности указываются в паспортах к приборам. Погрешности некоторых приборов можно оценить и не обращаясь к паспорту. Для многих электроизмерительных приборов непосредственно на шкале указаних класс точности.
Класс точности прибора – это отношение абсолютной погрешности прибора к максимальному значению измеряемой величины , которое можно определить с помощью данного прибора (это систематическая относительная погрешность данного прибора, выраженная в процентах от номинала шкалы ).
Тогда абсолютная погрешность такого прибора определяется соотношением:
.
Для электроизмерительных приборов введено 8 классов точности: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.
Чем ближе измеряемая величина к номиналу, тем более точным будет результат измерения. Максимальная точность (т.е. наименьшая относительная ошибка), которую может обеспечить данный прибор, равна классу точности. Это обстоятельство необходимо учитывать при использовании многошкальных приборов. Шкалу надо выбирать с таким расчетом, чтобы измеряемая величина, оставаясь в пределах шкалы, была как можно ближе к номиналу.
Если класс точности для прибора не указан, то необходимо руководствоваться следующими правилами:
· Абсолютная погрешность приборов с нониусом равна точности нониуса.
· Абсолютная погрешность приборов с фиксированным шагом стрелки равна цене деления.
· Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда.
· Для всех остальных приборов абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления.
Случайные погрешности . Эти погрешности имеют статистический характер и описываются теорией вероятности. Установлено, что при очень большом количестве измерений вероятность получить тот или иной результат в каждом отдельном измерении можно определить при помощи нормального распределения Гаусса. При малом числе измерений математическое описание вероятности получения того или иного результата измерения называется распределением Стьюдента (более подробно об этом можно прочитать в пособии Скворцовой И.Л. «Ошибки измерений физических величин»).
Как же оценить истинное значение измеряемой величины?
Пусть при измерении некоторой величины мы получили N результатов: . Среднее арифметическое серии измерений ближе к истинному значению измеряемой величины, чем большинство отдельных измерений. Для получения результата измерения некоторой величины используется следующий алгоритм.
1). Вычисляетсясреднее арифметическое серии из N прямых измерений:
2). Вычисляется абсолютная случайная погрешность каждого измерения – это разность между средним арифметическим серии из N прямых измерений и данным измерением:
.
3). Вычисляетсясредняя квадратичная абсолютная погрешность :
.
4). Вычисляется абсолютная случайная погрешность . При небольшом числе измерений абсолютную случайную погрешность можно рассчитать через среднюю квадратичную погрешность и некоторый коэффициент , называемый коэффициентом Стъюдента:
,
Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений N и коэффициента надежности (в таблице 1 отражена зависимость коэффициента Стьюдента от числа измерений при фиксированном значении коэффициента надежности ).
Коэффициент надежности – это вероятность, с которой истинноезначение измеряемой величины попадает в доверительный интервал.
Доверительный интервал – это числовой интервал, в который с определенной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины.
Таким образом, коэффициент Стъюдента – это число, на которое нужно умножить среднюю квадратичную погрешность, чтобы при данном числе измерений обеспечить заданную надежность результата.
Чем большую надежность необходимо обеспечить для данного числа измерений, тем больше коэффициент Стъюдента. С другой стороны, чем больше число измерений, тем меньше коэффициент Стъюдента при данной надежности. В лабораторных работах нашего практикума будем считать надежность заданной и равной 0,9. Числовые значения коэффициентов Стъюдента при этой надежности для разного числа измерений приведены в таблице 1.
Таблица 1
5).Вычисляетсяполная абсолютная погрешность. При любых измерениях существуют и случайные и систематические погрешности. Расчет общей (полной) абсолютной погрешности измерения дело непростое, так как эти погрешности разной природы.
Для инженерных измерений имеет смысл суммировать систематическую и случайную абсолютные погрешности
.
Для простоты расчетов принято оценивать полную абсолютную погрешность как сумму абсолютной случайной и абсолютной систематической (приборной) погрешностей, если погрешности одного порядка величины, и пренебрегать одной из погрешностей, если она болеечем на порядок (в 10 раз) меньше другой.
6). Округляется погрешность и результат . Поскольку результат измерений представляется в виде интервала значений, величину которого определяет полная абсолютная погрешность, важное значение имеет правильное округление результата и погрешности.
Округление начинают с абсолютной погрешности!!! Число значащих цифр, которое оставляют в значении погрешности, вообще говоря, зависит от коэффициента надежности и числа измерений. Однако даже для очень точных измерений (например, астрономических), в которых точное значение погрешности важно, не оставляют более двух значащих цифр. Бóльшее число цифр не имеет смысла, так как определение погрешности само имеет свою погрешность. В нашем практикуме сравнительно небольшой коэффициент надежности и малое число измерений. Поэтому при округлении (с избытком) полной абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.
Разряд значащей цифры абсолоютной погрешности определяет разряд первой сомнительной цифры взначении результата. Следовательно, само значение результата нужно округлять (с поправкой) до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности . Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями.
Если при измерении массы тела получен результат , то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю.
7). Вычисляется относительная погрешность .
При округлении относительной погрешности достаточно оставить две значащие цифры.
результат серии измерений некоторой физической величины представляют в виде интервала значений с указанием вероятности попадания истинного значения в данный интервал, то есть результат необходимо записать в виде:
Здесь – полная, округленная до первой значащей цифры, абсолютная погрешность и – округленное с учетом уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины. При записи результата измерений обязательно нужно указать единицу измерения величины.
Рассмотрим несколько примеров:
1. Пусть при измерении длины отрезка мы получили следующий результат: см и см. Как грамотно записать результат измерений длины отрезка? Сначала округляем с избытком абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру см. Значащая цифра погрешности в разряде сотых. Затем округляем с поправкой среднее значение с точностью до сотых, т.е. до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности см. Вычисляем относительную погрешность
В основе точных естественных наук лежат измерения. При измерениях значения величин выражаются в виде чисел, которые указывают во сколько раз измеренная величина больше или меньше другой величины, значение которой принято за единицу. Полученные в результате измерений числовые значения различных величин могут зависеть друг от друга. Связь между такими величинами выражается в виде формул, которые показывают, как числовые значения одних величин могут быть найдены по числовым значениям других.
При измерениях неизбежно возникают погрешности. Необходимо владеть методами, применяемыми при обработке результатов, полученных при измерениях. Это позволит научиться получать из совокупности измерений наиболее близкие к истине результаты, вовремя заметить несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и правильно оценить точность полученных значений.
Если измерение заключается в сравнении данной величины с другой, однородной величиной, принятой за единицу, то измерение в этом случае называется прямым.
Прямые (непосредственные) измерения – это такие измерения, при которых мы получаем численное значение измеряемой величины либо прямым сравнением ее с мерой (эталоном), либо с помощью приборов, градуированных в единицах измеряемой величины.
Однако далеко не всегда такое сравнение производится непосредственно. В большинстве случаев измеряется не сама интересующая нас величина, а другие величины, связанные с нею теми или иными соотношениями и закономерностями. В этом случае для измерения необходимой величины приходится предварительно измерить несколько других величин, по значению которых вычислением определяется значение искомой величины. Такое измерение называется косвенным.
Косвенные измерения состоят из непосредственных измерений одной или нескольких величин, связанных с определяемой величиной количественной зависимостью, и вычисления по этим данным определяемой величины.
В измерениях всегда участвуют измерительные приборы, которые одной величине ставят в соответствие связанную с ней другую, доступную количественной оценке с помощью наших органов чувств. Например, силе тока ставится в соответствие угол отклонения стрелки на шкале с делениями. При этом должны выполняться два основных условия процесса измерения: однозначность и воспроизводимость результата. эти два условия всегда выполняются только приблизительно. Поэтому процесс измерения содержит наряду с нахождением искомой величины и оценку неточности измерения .
Современный инженер должен уметь оценить погрешность результатов измерений с учетом требуемой надежности. Поэтому большое внимание уделяется обработке результатов измерений. Знакомство с основными методами расчета погрешностей – одна из главных задач лабораторного практикума.
Почему возникают погрешности?
Существует много причин для возникновения погрешностей измерений. Перечислим некоторые из них.
· процессы, происходящие при взаимодействии прибора с объектом измерений, неизбежно изменяют измеряемую величину. Например, измерение размеров детали с помощью штангенциркуля, приводит к сжатию детали, то есть к изменению ее размеров. Иногда влияние прибора на измеряемую величину можно сделать относительно малым, иногда же оно сравнимо или даже превышает саму измеряемую величину.
· Любой прибор имеет ограниченные возможности однозначного определения измеряемой величины вследствие конструктивной неидеальности. Например, трение между различными деталями в стрелочном блоке амперметра приводит к тому, что изменение тока на некоторую малую, но конечную, величину не вызовет изменения угла отклонения стрелки.
· Во всех процессах взаимодействия прибора с объектом измерения всегда участвует внешняя среда, параметры которой могут изменяться и, зачастую, непредсказуемым образом. Это ограничивает возможность воспроизводимости условий измерения, а, следовательно, и результата измерения.
· При визуальном снятии показаний прибора возможна неоднозначность в считывании показаний прибора вследствие ограниченных возможностей нашего глазомера.
· Большинство величин определяется косвенным образом на основании наших знаний о связи искомой величины с другими величинами, непосредственно измеряемыми приборами. Очевидно, что погрешность косвенного измерения зависит от погрешностей всех прямых измерений. Кроме того, в ошибки косвенного измерения свой вклад вносят и ограниченность наших познаний об измеряемом объекте, и упрощенность математического описания связей между величинами, и игнорирование влияния тех величин, воздействие которых в процессе измерения считается несущественным.
Классификация погрешностей
Значение погрешности измерения некоторой величины принято характеризовать:
1. Абсолютной погрешностью – разностью между найденным на опыте (измеренным) и истинным значением некоторой величины
. (1)
Абсолютная погрешность показывает, на сколько мы ошибаемся при измерении некоторой величины Х.
2. Относительной погрешностью равной отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины Х
Относительная погрешность показывает, на какую долю от истинного значения величины Х мы ошибаемся.
Качество результатов измерений какой-то величины характеризуется относительной погрешностью . Величина может быть выражена в процентах.
Из формул (1) и (2) следует, что для нахождения абсолютной и относительной погрешностей измерений, нужно знать не только измеренное, но и истинное значение интересующей нас величины. Но если истинное значение известно, то незачем производить измерения. Цель измерений всегда состоит в том, чтобы узнать не известное заранее значение некоторой величины и найти если не ее истинное значение, то хотя бы значение, достаточно мало от него отличающееся. Поэтому формулы (1) и (2), определяющие величину погрешностей на практике не пригодны. При практических измерениях погрешности не вычисляются, а оцениваются. При оценках учитываются условия проведения эксперимента, точность методики, качество приборов и ряд других факторов. Наша задача: научиться строить методику эксперимента и правильно использовать полученные на опыте данные для того, чтобы находить достаточно близкие к истинным значения измеряемых величин, разумно оценивать погрешности измерений.
Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промахах) , возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать.
Не связанные с грубыми ошибками погрешности опыта делятся на случайные и систематические.
с лучайные погрешности. Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а «пляшут» вокруг некоторого среднего (рис.1). Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называют случайными. Случайные погрешности непроизвольно вносятся экспериментатором вследствие несовершенства органов чувств, случайных внешних факторов и т. д. Если погрешность каждого отдельного измерения принципиально непредсказуема, то они случайным образом изменяют значение измеряемой величины. Эти погрешности можно оценить только при помощи статистической обработки многократных измерений искомой величины.
Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического винта, не равные плечи весов и т. д.) и с самой постановкой опыта. Они сохраняют свою величину (и знак!) во время эксперимента. В результате систематических погрешностей разбросанные из-за случайных погрешностей результаты опыта колеблются не вокруг истинного, а вокруг некоторого смещенного значения (рис.2). погрешность каждого измерения искомой величины можно предсказать заранее, зная характеристики прибора.
|
|
|
Расчет погрешностей прямых измерений
Систематические погрешности . Систематические ошибки закономерным образом изменяют значения измеряемой величины. Наиболее просто поддаются оценке погрешности, вносимые в измерения приборами, если они связаны с конструктивными особенностями самих приборов. Эти погрешности указываются в паспортах к приборам. Погрешности некоторых приборов можно оценить и не обращаясь к паспорту. Для многих электроизмерительных приборов непосредственно на шкале указан их класс точности.
Класс точности прибора – это отношение абсолютной погрешности прибора к максимальному значению измеряемой величины , которое можно определить с помощью данного прибора (это систематическая относительная погрешность данного прибора, выраженная в процентах от номинала шкалы ).
.
Тогда абсолютная погрешность такого прибора определяется соотношением:
.
Для электроизмерительных приборов введено 8 классов точности: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.
Чем ближе измеряемая величина к номиналу, тем более точным будет результат измерения. Максимальная точность (т. е. наименьшая относительная ошибка), которую может обеспечить данный прибор, равна классу точности. Это обстоятельство необходимо учитывать при использовании многошкальных приборов. Шкалу надо выбирать с таким расчетом, чтобы измеряемая величина, оставаясь в пределах шкалы, была как можно ближе к номиналу.
Если класс точности для прибора не указан, то необходимо руководствоваться следующими правилами:
· Абсолютная погрешность приборов с нониусом равна точности нониуса.
· Абсолютная погрешность приборов с фиксированным шагом стрелки равна цене деления.
· Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда.
· Для всех остальных приборов абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления.
Случайные погрешности . Эти погрешности имеют статистический характер и описываются теорией вероятности. Установлено, что при очень большом количестве измерений вероятность получить тот или иной результат в каждом отдельном измерении можно определить при помощи нормального распределения Гаусса. При малом числе измерений математическое описание вероятности получения того или иного результата измерения называется распределением Стьюдента (более подробно об этом можно прочитать в пособии «Ошибки измерений физических величин»).
Как же оценить истинное значение измеряемой величины?
Пусть при измерении некоторой величины мы получили N результатов: . Среднее арифметическое серии измерений ближе к истинному значению измеряемой величины, чем большинство отдельных измерений. Для получения результата измерения некоторой величины используется следующий алгоритм.
1). Вычисляется среднее арифметическое серии из N прямых измерений:
2). Вычисляется абсолютная случайная погрешность каждого измерения – это разность между средним арифметическим серии из N прямых измерений и данным измерением:
.
3). Вычисляется средняя квадратичная абсолютная погрешность :
.
4). Вычисляется абсолютная случайная погрешность . При небольшом числе измерений абсолютную случайную погрешность можно рассчитать через среднюю квадратичную погрешность и некоторый коэффициент , называемый коэффициентом Стъюдента:
,
Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений N и коэффициента надежности (в таблице 1 отражена зависимость коэффициента Стьюдента от числа измерений при фиксированном значении коэффициента надежности ).
Коэффициент надежности – это вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал.
Доверительный интервал – это числовой интервал, в который с определенной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины.
Таким образом, коэффициент Стъюдента – это число, на которое нужно умножить среднюю квадратичную погрешность, чтобы при данном числе измерений обеспечить заданную надежность результата.
Чем большую надежность необходимо обеспечить для данного числа измерений, тем больше коэффициент Стъюдента. С другой стороны, чем больше число измерений, тем меньше коэффициент Стъюдента при данной надежности. В лабораторных работах нашего практикума будем считать надежность заданной и равной 0,9. Числовые значения коэффициентов Стъюдента при этой надежности для разного числа измерений приведены в таблице 1.
Таблица 1
Число измерений N | ||||||||||||
Коэффициент Стъюдента |
5). Вычисляется полная абсолютная погрешность. При любых измерениях существуют и случайные и систематические погрешности. Расчет общей (полной) абсолютной погрешности измерения дело непростое, так как эти погрешности разной природы.
Для инженерных измерений имеет смысл суммировать систематическую и случайную абсолютные погрешности
.
Для простоты расчетов принято оценивать полную абсолютную погрешность как сумму абсолютной случайной и абсолютной систематической (приборной) погрешностей, если погрешности одного порядка величины, и пренебрегать одной из погрешностей, если она более чем на порядок (в 10 раз) меньше другой.
6). Округляется погрешность и результат . Поскольку результат измерений представляется в виде интервала значений, величину которого определяет полная абсолютная погрешность, важное значение имеет правильное округление результата и погрешности.
Округление начинают с абсолютной погрешности!!! Число значащих цифр, которое оставляют в значении погрешности, вообще говоря, зависит от коэффициента надежности и числа измерений. Однако даже для очень точных измерений (например, астрономических), в которых точное значение погрешности важно, не оставляют более двух значащих цифр. Бóльшее число цифр не имеет смысла, так как определение погрешности само имеет свою погрешность. В нашем практикуме сравнительно небольшой коэффициент надежности и малое число измерений. Поэтому при округлении (с избытком) полной абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.
Разряд значащей цифры абсолоютной погрешности определяет разряд первой сомнительной цифры в значении результата. Следовательно, само значение результата нужно округлять (с поправкой) до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности . Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями.
Если при измерении массы тела получен результат , то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю.
7). Вычисляется относительная погрешность .
При округлении относительной погрешности достаточно оставить две значащие цифры.
р езультат серии измерений некоторой физической величины представляют в виде интервала значений с указанием вероятности попадания истинного значения в данный интервал, то есть результат необходимо записать в виде:
Здесь – полная, округленная до первой значащей цифры, абсолютная погрешность и – округленное с учетом уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины. При записи результата измерений обязательно нужно указать единицу измерения величины.
Рассмотрим несколько примеров:
1. Пусть при измерении длины отрезка мы получили следующий результат: см и см. Как грамотно записать результат измерений длины отрезка? Сначала округляем с избытком абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру см. Значащая цифра погрешности в разряде сотых. Затем округляем с поправкой среднее значение с точностью до сотых, т. е. до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности см. Вычисляем относительную погрешность
.
см; ; .
2. Пусть при расчете сопротивления проводника мы получили следующий результат: и . Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру . Затем округляем среднее значение с точностью до целых . Вычисляем относительную погрешность
.
Результат измерений записываем так:
; ; .
3. Пусть при расчете массы груза мы получили следующий результат: кг и кг. Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру кг. Затем округляем среднее значение с точностью до десятков кг. Вычисляем относительную погрешность
.
.
Вопросы и задачи по теории погрешностей
1. Что значит измерить физическую величину? Приведите примеры.
2. Почему возникают погрешности измерений?
3. Что такое абсолютная погрешность?
4. Что такое относительная погрешность?
5. Какая погрешность характеризует качество измерения? Приведите примеры.
6. Что такое доверительный интервал?
7. Дайте определение понятию «систематическая погрешность».
8. Каковы причины возникновения систематических погрешностей?
9. Что такое класс точности измерительного прибора?
10. Как определяются абсолютные погрешности различных физических приборов?
11. Какие погрешности называются случайными и как они возникают?
12. Опишите процедуру вычисления средней квадратичной погрешности.
13. Опишите процедуру расчета абсолютной случайной погрешности прямых измерений.
14. Что такое «коэффициент надежности»?
15. От каких параметров и как зависит коэффициент Стьюдента?
16. Как рассчитывается полная абсолютная погрешность прямых измерений?
17. Напишите формулы для определения относительной и абсолютной погрешностей косвенных измерений.
18. Сформулируйте правила округления результата с погрешностью.
19. Найдите относительную погрешность измерения длины стены при помощи рулетки с ценой деления 0,5см. Измеренная величина составила 4,66м.
20. При измерении длины сторон А и В прямоугольника были допущены абсолютные погрешности ΔА и ΔВ соответственно. Напишите формулу для расчета абсолютной погрешности ΔS, полученной при определении площади по результатам этих измерений.
21. Измерение длины ребра куба L имело погрешность ΔL. Напишите формулу для определения относительной погрешности объема куба по результатам этих измерений.
22. Тело двигалось равноускоренно из состояния покоя. Для расчета ускорения измерили путь S, пройденный телом, и время его движения t. Абсолютные погрешности этих прямых измерений составили соответственно ΔS и Δt. Выведите формулу для расчета относительной погрешности ускорения по этим данным.
23. При расчете мощности нагревательного прибора по данным измерений получены значения Рср = 2361,7893735 Вт и ΔР = 35,4822 Вт. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление.
24. При расчете величины сопротивления по данным измерений получены следующие значения: Rср = 123,7893735 Ом, ΔR = 0,348 Ом. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление.
25. При расчете величины коэффициента трения по данным измерений получены значения μср = 0,7823735 и Δμ = 0,03348. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление.
26. Ток силой 16,6 А определялся по прибору с классом точности 1,5 и номиналом шкалы 50 А. Найдите абсолютную приборную и относительную погрешности этого измерения.
27. В серии из 5 измерений периода колебаний маятника получились следующие значения: 2,12 с, 2,10 с, 2,11 с, 2,14 с, 2,13 с. Найдите абсолютную случайную погрешность определения периода по этим данным.
28. Опыт падения груза с некоторой высоты повторяли 6 раз. При этом получались следующие величины времени падения груза: 38,0 с, 37,6 с, 37,9 с, 37,4 с, 37,5 с, 37,7 с. Найдите относительную погрешность определения времени падения.
Цена деления – это измеряемая величина, вызывающая отклонение указателя на одно деление. Цена деления определяется как отношение верхнего предела измерения прибора к числу делений шкалы.
При прямых измерениях
1. Пусть на вольтметре однократно измерены два напряжения U 1 = 10 В, U 2 = 200 В. Вольтметр имеет следующие характеристики: класс точности d кл т = 0,2, U max = 300 В.
Определим абсолютную и относительную погрешности этих измерений.
Так как оба измерения произведены на одном приборе, то DU 1 = DU 2 и вычисляются по формуле (В.4)
Согласно определению относительные погрешности U 1 и U 2 соответственно равны
ε 1 = 0,6 ∙ В / 10 В = 0,06 = 6 %,
ε 2 = 0,6 ∙ В / 200 В = 0,003 = 0,3 %.
Из приведенных результатов вычислений ε 1 и ε 2 видно, что ε 1 значительно больше ε 2 .
Отсюда вытекает правило: следует выбирать прибор с таким пределом измерений, чтобы показания были в последней трети шкалы.
2. Пусть некоторая величина измерена многократно, то есть произведено n отдельных измерений этой величины А х 1 , А х 2 ,..., А х 3 .
Тогда для вычисления абсолютной погрешности производят следующие операции:
1) по формуле (В.5) определяют среднее арифметическое значение А 0 измеряемой величины;
2) вычисляют сумму квадратов отклонений отдельных измерений от найденного среднего арифметического и по формуле (В.6) определяют среднюю квадратическую погрешность, которая и характеризует абсолютную погрешность единичного измерения при многократных прямых измерениях некоторой величины;
3) относительная погрешность ε вычисляется по формуле (В.2).
Вычисление абсолютной и относительной погрешности
При косвенном измерении
Вычисление погрешностей при косвенных измерениях – более сложная задача, так как в этом случае искомая величина является функцией других вспомогательных величин, измерение которых сопровождается появлением погрешностей. Обычно при измерениях, если не считать промахов, случайные погрешности оказываются весьма малыми по сравнению с измеряемой величиной. Они настолько малы, что вторые и более высокие степени погрешностей лежат за пределами точностей измерений и ими можно пренебречь. Из-за малости погрешностей для получения формулы погрешности
косвенно измеряемой величины применяют методы дифференциального исчисления. При косвенном измерении величины, когда непосредственно измеряются величины, связанные с искомой некоторой мaтематической зависимостью, удобнее вначале определить относительную погрешность и уже
через найденную относительную погрешность вычислять абсолютную погрешность измерения.
Дифференциальное исчисление дает наиболее простой способ определения относительной погрешности при косвенном измерении.
Пусть искомая величина А
связана функциональной зависимостью с несколькими независимыми непосредственно измеряемыми величинами x
1 ,
x
2 , ..., x k
, т. е.
A = f (x 1 , x 2 , ..., x k ).
Для определения относительной погрешности величины А берется натуральный логарифм от обеих частей равенства
ln A = ln f (x 1 , x 2 , ..., x k ).
Затем вычисляется дифференциал натурального логарифма функции
A
= f
(x
1 ,x
2 , ..., x k
),
dlnA = dlnf (x 1 , x 2 , ..., x k )
В полученном выражении производятся все возможные алгебраические преобразования и упрощения. После этого все символы дифференциалов d заменяются на символы погрешности D, причем отрицательные знаки перед дифференциалами независимых переменных заменяются положительными, т. е. берется наиболее неблагоприятный случай, когда все погрешности складываются. В этом случае вычисляется максимальная погрешность результата.
С учетом вышесказанного
но ε = D А / А
Данное выражение является формулой относительной погрешности величины А
при косвенных измерениях, оно определяет относительную погрешность искомой величины, через относительные погрешности, измеряемых величин. Вычислив по формуле (В.11) относительную погрешность,
определяют абсолютную погрешность величины А
как произведение относительной погрешности на рассчитанное значение А
т. е.
DА = εА , (В.12)
где ε выражено безразмерным числом.
Итак, относительную и абсолютную погрешности косвенно измеряемой величины следует рассчитать в такой последовательности:
1) берется формула, по которой рассчитывается искомая величина (расчетная формула);
2) берется натуральный логарифм от обеих частей расчетной формулы;
3) вычисляется полный дифференциал натурального логарифма искомой величины;
4) в полученном выражении производятся все возможные алгебраические преобразования и упрощения;
5) символ дифференциалов d заменяется на символ погрешности D, при этом все отрицательные знаки перед дифференциалами независимых переменных заменяются на положительные (величина относительной погрешности будет максимальной) и получается формула относительной погрешности;
6) рассчитывается относительная погрешность измеряемой величины;
7) по рассчитанной относительной погрешности вычисляется абсолютная погрешность косвенного измерения по формуле (В.12).
Рассмотрим несколько примеров расчета относительной и абсолютной погрешностей при косвенном измерении.
1. Искомая величина А связана с непосредственно измеряемыми величинами х , у , z соотношением
где a и b – постоянные величины.
2. Возьмем натуральный логарифм от выражения (В.13)
3. Вычислим полный дифференциал натурального логарифма искомой величины А , то есть дифференцируем (В.13)
4. Производим преобразования. Учитывая, что dа = 0, так как а = const, cos у /sin y = ctg y , получаем:
5. Заменим символы дифференциалов символами погрешностей и знак «минус» перед дифференциалом на знак «плюс»
6. Рассчитываем относительную погрешность измеряемой величины.
7. По рассчитанной относительной погрешности вычисляется абсолютная погрешность косвенного измерения по формуле (В.12), т. е.
Определяется длина волны желтого цвета спектральной линии ртути при помощи дифракционной решетки (используя принятую последовательность вычисления относительной и абсолютной погрешностей для длины волны желтого цвета).
1. Длина волны желтого цвета в этом случае определяется по формуле:
где С – постоянная дифракционной решетки (косвенно измеряемая величина); φ ж – угол дифракции желтой линии в данном порядке спектра (непосредственно измеряемая величина); K ж – порядок спектра, в котором производилось наблюдение.
Постоянная дифракционной решетки вычисляется по формуле
где K з – порядок спектра зеленой линии; λ з – известная длина волны зеленого цвета (λ з – постоянная); φ з – угол дифракции зеленой линии в данном порядке спектра (непосредственно измеряемая величина).
Тогда с учетом выражения (В.15)
(В.16)
где K
з, K
ж – наблюдаемые, которые считаются постоянными; φ з, φ ж – являют-
ся непосредственно измеряемыми величинами.
Выражение (В.16) – расчетная формула длины волны желтого цвета, определяемой при помощи дифракционной решетки.
4. dK з = 0; dK ж = 0; dλ з = 0, так как K з, K ж и λ з – постоянные величины;
Тогда
5. (В.17)
где Dφ ж, Dφ з – абсолютные погрешности измерения угла дифракции желтой
и зеленой линий спектра.
6. Рассчитываем относительную погрешность длины волны желтого цвета.
7. Вычисляем абсолютную погрешность длины волны желтого цвета:
Dλ ж = ελ ж.
Термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы.) Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов . При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность . Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2.8±0.1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2.7 с. до 2.9 с. некоторой оговоренной вероятностью (см. доверительный интервал , доверительная вероятность, стандартная ошибка).
В 2006 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений».
Определение погрешности
В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.
- Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:
- Средняя квадратическая погрешность:
- Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:
Классификация погрешностей
По форме представления
- Абсолютная погрешность - ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины X m e a s . При этом равенство:
ΔX = | X t r u e − X m e a s | ,
где X t r u e - истинное значение, а X m e a s - измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина X m e a s распределена по нормальному закону , то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение . Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
- Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное:
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах .
- Приведенная погрешность - относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле
где X n - нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:
Если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то X
n
определяется равным верхнему пределу измерений;
- если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.
Приведенная погрешность - безразмерная величина (может измеряться в процентах).
По причине возникновения
- Инструментальные / приборные погрешности - погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
- Методические погрешности - погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
- Субъективные / операторные / личные погрешности - погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.
В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.
Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.
Обобщенной характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведенных основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д.
По характеру проявления
- Случайная погрешность - погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т.п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).
- Систематическая погрешность - погрешность, изменяющаяся во времени по определенному закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т.п.), неучтёнными экспериментатором.
- Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
- Грубая погрешность (промах) - погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора, если произошло замыкание в электрической цепи).
Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины a, b, c , ..., полученные при прямых измерениях
z = f (a, b, c,...) (1.11)
Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал
при надежности a и относительную погрешность.
Что касается, то оно находится путем подстановки в правую часть (11) вместо a, b, c ,... их средних значений
3. Оценить полуширину доверительного интервала для результата косвенных измерений
,
где производные... вычисляются при
4. Определить относительную погрешность результата
5. Если зависимость z от a, b, c ,... имеет вид , где k, l, m ‒ любые действительные числа, то сначала следует найти относительную ошибку
а затем абсолютную .
6. Окончательный результат записать в виде
z = ± Dz , ε = …% при a= … .
Примечание:
При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.
При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений :
Правило 1. При сложении и вычитании приближенных чисел необходимо:
а) выделить слагаемое, у которого сомнительная цифра имеет наиболее высокий разряд;
б) все остальные слагаемые округлить до следующего разряда (сохраняется одна запасная цифра);
в) произвести сложение (вычитание);
г) в результате отбросить последнюю цифру путем округления (разряд сомнительной цифры результата при этом совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых).
Пример: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.
В этих числах последние значащие цифры сомнительные (неверные уже отброшены). Запишем их в виде 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.
Видно, что у первого слагаемого сомнительная цифра 2 имеет наиболее высокий разряд (десятки). Округлив все другие числа до следующего разряда и сложив, получим
543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094·10 5 .
Правило 2. При умножении (делении) приближенных чисел необходимо:
а) выделить число (числа) с наименьшим количеством значащих цифр (ЗНАЧАЩИЕ – цифры отличные от ноля и ноли стоящие между ними );
б) округлить остальные числа так, чтобы в них было на одну значащую цифру больше (сохраняется одна запасная цифра), чем выделенном по п. а;
в) перемножить (разделить) полученные числа;
г) в результате оставить столько значащих цифр, сколько их было в числе (числах) с наименьшим количеством значащих цифр.
Пример: .
Правило 3. При возведении в степень, при извлечении корня в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе.
Пример: .
Правило 4. При нахождении логарифма числа мантисса логарифма должна иметь столько значащих цифр, сколько их в исходном числе:
Пример: .
В окончательной записиабсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру . (Если этой цифрой окажется 1, то после нее сохраняют еще одну цифру).
Среднее значение округляется до того же разряда, что и абсолютная погрешность.
Например: V = (375,21 0,03) см 3 = (3,7521 0,0003) см 3 .
I = (5,530 0,013) А, A = Дж.
Порядок выполнения работы
Определение диаметра цилиндра .
1. Штангенциркулем измерить 7 раз (в разных местах и направлениях) диаметр цилиндра. Результаты записать в таблицу.
№ п/п | d i , мм | d i - | (d i - ) 2 | h i , мм
и Похожая информация: |
Погрешности измеряемых и табличных величин обуславливают погрешности DХ ср косвенно определяемой величины, причем наибольший вклад в DХ ср дают наименее точные величины, имеющие максимальную относительную погрешность d . Поэтому, для повышения точности косвенных измерений, необходимо добиваться равноточности прямых измерений
(d А, d В, d С, …).
Правила нахождения погрешностей косвенных измерений:
1. Находят натуральный логарифм от заданной функции
ln{X = f(A,B,C,…)};
2. Находят полный дифференциал (по всем переменным) от найденного натурального логарифма заданной функции;
3. Заменяют знак дифференциала d на знак абсолютной погрешности D;
4. Заменяют все «минусы», стоящими перед абсолютными погрешностями DА, DВ, DС , … на «плюсы».
В результате получается формула наибольшей относительной погрешности d x косвенно измеренной величины Х:
d x = = j (A ср, B ср, C ср, …, DA ср, DB ср, DC ср, …). (18)
По найденной относительной погрешности d x определяют абсолютную погрешность косвенного измерения:
DХ ср = d x . Х ср . (19)
Результат косвенных измерений записывают в стандартном виде и изображают на числовой оси:
X = (X ср ± DХ ср), ед.изм. (20)
Пример :
Найти значения относительной и средней погрешностей физической величины L , определяемой косвенно по формуле:
, (21)
где π, g, t, k, α, β – величины, значения которых измерены или взяты из справочных таблиц и занесены в таблицу результатов измерений и табличных данных (подобную табл.1).
1. Вычисляют среднее значение L ср , подставляя в (21) средние значения из таблицы – π ср, g ср, t ср, k ср, α ср, β ср.
2. Определяют наибольшую относительную погрешность δ L :
a). Логарифмируют формулу (21):
b). Дифференцируют полученное выражение (22):
c).Заменяют знак дифференциала d на Δ, а «минусы» перед абсолютными погрешностями – на «плюсы», и получают выражение для наибольшей относительной погрешности δ L :
d). Подставляя в полученное выражение средние значения входящих величин и их погрешностей из таблицы результатов измерений, вычисляют δ L .
3. Затем вычисляют абсолютную погрешность ΔL ср :
Результат записывают в стандартном виде и изображают графически на оси L :
, ед. изм.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Измерение есть нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств - мер, измерительных приборов.
Мера есть средство измерений, воспроизводящее физическую величину заданного размера - единица измерения, ее кратное или дробное значение. Например, гири 1 кг, 5 кг, 10 кг.
Измерительный прибор есть средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. Измерительный прибор позволяет прямо или косвенно сравнивать измеряемую величину с мерами. Измерения также разделяют на прямые и косвенные.
При прямых измерениях искомое значение величины находят непосредственно из основных (опытных) данных.
При косвенных измерениях искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Принцип измерений есть совокупность физических явлений, на которых основаны измерения.
Метод измерений - совокупность приемов использования принципов и средств измерений. Значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующее свойство данного объекта есть истинное значение физической величины. Значение физической величины, найденное путем ее измерения есть результат измерения.
Отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины есть погрешность измерения.
Абсолютная погрешность измерения есть погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины и равная разности результата и истинного значения измеряемой величины. Отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины есть относительная погрешность измерения.
Вклад в погрешность измерения вносят погрешности средств измерений (инструментальная или приборная погрешность), несовершенство метода измерений, погрешность отсчитывания по шкале прибора, внешние влияния на средства и объекты измерений, запаздывание реакции человека на световой и звуковой сигналы.
По характеру проявления погрешности делят на систематические и случайные. Случайным называется событие, которое при заданном комплексе факторов может произойти или не произойти.
Случайная погрешность - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Характерным признаком случайных погрешностей является изменение величин и знака погрешности в неизменных условиях измерений.
Систематическая погрешность - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности в принципе могут быть исключены путем поправок, применением более точных приборов и методов (хотя на практике обнаружить систематическую погрешность не всегда легко). Исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений (теория вероятности) позволяет лишь установить обоснованную оценку их величины.
Погрешности прямых измерений
Положим, что систематические погрешности исключены и погрешности результатов измерений являются только случайными. Обозначим буквами - результаты измерений физической величины, истинное значение которого равно. Абсолютные погрешности результатов отдельных измерений обозначены:
Суммируя получено левые и правые стороны равенства (1), получим:
(2)
В основе теории случайных погрешностей лежат подтверждаемые опытом предположения:
погрешности могут принимать непрерывный ряд значений;
при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины. Необходимо также, чтобы погрешности были малы по сравнению с измеряемой величиной и независимы.
Согласно предположению (1) при числе измерений n получим
,
Однако, всегда число измерений конечно и остается неизвестным. Но для практических целей достаточно найти экспериментальным путем значение физической величины настолько приближающееся к истинному, чтоможет быть использована вместо истинного. Вопрос в том, как оценить степень этого приближения?
По теории вероятности среднее арифметическое серии измерений достовернее результатов отдельных измерений, т.к. случайные отклонения от истинного значения в разные стороны равновероятны. За вероятность появления величины a i в интервале шириной 2a i понимают относительную частоту появления значений a i , попадающих в интервал 2a i к числу всех появляющихся значений a i при числе опытов (измерений), стремящихся к бесконечности. Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю, т.е. 0 100 %.
Вероятность того, что искомая величина (истинное значение ее) содержится в интервале (a - a, a + a) назовем доверительной вероятностью (надежностью) , а соответствующий интервал (a - a, a + a) - доверительным интервалом; чем меньше величина погрешности a, тем меньше и вероятность того, что измеряемая величина содержится в интервале, определенной этой погрешностью. Верно и обратное утверждение: чем меньше надежность результата, тем уже доверительный интервал искомой величины.
При большом n (практически при n 100) полуширина доверительного интервала при заданной надежности равна
,
(3)
где K() = 1 при = 0,68; K() = 2 при = 0,95; K() = 3 при = 0,997.
При малом числе измерений, что чаще всего и встречается в студенческом лабораторном практикуме, коэффициент K()в (3) зависит не только от , но еще и от числа измерений n. Поэтому мы всегда будем при наличии только случайной погрешности полуширину доверительного интервала находить по формуле
(4)
В (4) коэффициент t n называется коэффициентом Стьюдента. Для = 0,95 принятой в студенческом практикуме, значения t n таковы:
Величину называют среднеквадратичной погрешностью среднего арифметического из серии измерений.
Погрешность прибора или меры обычно указывается в паспорте его (ее) или условным знаком на шкале прибора. Обычно под погрешностью прибора понимают полуширину интервала, внутри которого с вероятностью измерений 0,997 может быть заключена измеряемая величина, если погрешность измерений обусловлена только погрешностью прибора. В качестве общей (полной) погрешности результата измерений примем с вероятностью = 0,95
Абсолютная погрешность позволяет установить в каком знаке полученного результата содержится неточность. Относительная погрешность дает информацию о том, какую долю (процент) измеряемой величины составляет погрешность (полуширина доверительного интервала).
Окончательный результат серии прямых измерений величины a 0 запишем в виде
.
Например
(6)
Таким образом, любая физическая величина, найденная опытным путем, должна быть представлена: