Как найти относительную погрешность измерения. Измерение физических величин
В наш век человек придумал и использует огромное множество всевозможных измерительных приборов. Но какой бы совершенной ни была технология их изготовления, все они имеют большую или меньшую погрешность. Этот параметр, как правило, указывается на самом инструменте, и для оценки точности определяемой величины нужно уметь разбираться в том, что означают указанные на маркировке цифры. Кроме того, относительная и абсолютная погрешность неизбежно возникает при сложных математических расчетах. Она широко применяется в статистике, промышленности (контроль качества) и в ряде других областей. Как рассчитывается эта величина и как трактовать ее значение - об этом как раз и пойдет речь в данной статье.
Абсолютная погрешность
Обозначим через х приближенное значение какой-либо величины, полученное, к примеру, посредством однократного измерения, а через х 0 - ее точное значение. Теперь вычислим модуль разности между этими двумя числами. Абсолютная погрешность - это как раз и есть то значение, что получилось у нас в результате этой нехитрой операции. Выражаясь языком формул, данное определение можно записать в таком виде: Δ x = | x - x 0 |.
Относительная погрешность
Абсолютное отклонение обладает одним важным недостатком - оно не позволяет оценить степень важности ошибки. Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 грамм в свою пользу. То есть абсолютная погрешность составила 50 грамм. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на нее внимания. А представьте себе, что случится, если при приготовлении лекарства произойдет подобная ошибка? Тут уже все будет намного серьезней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения. Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме нее очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение, равное отношению абсолютной погрешности к точному значению числа. Это записывается следующей формулой: δ = Δ x / x 0 .
Свойства погрешностей
Предположим, у нас есть две независимые величины: х и у. Нам требуется рассчитать отклонение приближенного значения их суммы. В этом случае мы может рассчитать абсолютную погрешность как сумму предварительно рассчитанных абсолютных отклонений каждой из них. В некоторых измерениях может произойти так, что ошибки в определении значений x и y будут друг друга компенсировать. А может случиться и такое, что в результате сложения отклонения максимально усилятся. Поэтому, когда рассчитывается суммарная абсолютная погрешность, следует учитывать наихудший из всех вариантов. То же самое справедливо и для разности ошибок нескольких величин. Данное свойство характерно лишь для абсолютной погрешности, и к относительному отклонению его применять нельзя, поскольку это неизбежно приведет к неверному результату. Рассмотрим эту ситуацию на следующем примере.
Предположим, измерения внутри цилиндра показали, что внутренний радиус (R 1) равен 97 мм, а внешний (R 2) - 100 мм. Требуется определить толщину его стенки. Вначале найдем разницу: h = R 2 - R 1 = 3 мм. Если в задаче не указывается чему равна абсолютная погрешность, то ее принимают за половину деления шкалы измерительного прибора. Таким образом, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 мм. Суммарная абсолютная погрешность равна: Δ(h) = Δ(R 2) +Δ(R 1) = 1 мм. Теперь рассчитаем относительно отклонение всех величин:
δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,
δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,
δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).
Как видим, погрешность измерения обоих радиусов не превышает 5,2%, а ошибка при расчете их разности - толщины стенки цилиндра - составила целых 33,(3)%!
Следующее свойство гласит: относительное отклонение произведения нескольких числе примерно равно сумме относительных отклонений отдельных сомножителей:
δ(ху) ≈ δ(х) + δ(у).
Причем данное правило справедливо независимо от количества оцениваемых величин. Третье и последнее свойство относительной погрешности состоит в том, что относительная оценка числа k-й степени приближенно в | k | раз превышает относительную погрешность исходного числа.
Пусть измеряемая имеет известное значение величина X
.
Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x
1
,
x
2
,…
xn
заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X
.
Тогда величина
будет являться абсолютной погрешностью i
-го измерения. Но поскольку истинное значение результата X
,
как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее арифметическое
,
которое рассчитывают по формуле:
Однако при малых объемах выборки вместо
предпочтительнее пользоваться медианой
. Медианой (Ме)
называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая большее, чем Ме
. Для вычисления Ме
результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так называемый вариационный ряд. Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена ряда. Например,
для n=3
Для четных n, значение Ме
равно полусумме значений двух средних результатов. Например,
для n=4
Для расчета s
пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком.
При очень большом числе выборки (n
>
) случайные погрешности могут быть описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса. При малых n
распределение может отличаться от нормального. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t
-распределением. Существует некоторый коэффициент t
, называемый коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f
) и доверительной вероятности (Р
) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.
Стандартное отклонение среднего результата
определяется по формуле:
Величина
является доверительным интервалом среднего значения
. Для серийных анализов обычно полагают Р
= 0,95.
Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t )
f |
||||
Пример 1.
Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа
По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t =2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn.
Пример 2.
Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % - й доверительной вероятности.
Решение. КоэффициентСтьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8 равен 2,31. Учитывая, что
и
, найдем:
- ширина доверит. интервала для среднего значения
- ширина доверит. интервала для единичного измерения значения
Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из частных средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s . Имея m проб и для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты представляют в виде таблицы:
Номер |
Номер анализа |
||
Средняя погрешность рассчитывают из уравнения:
со степенями свободыf = n – m , где n – общее число определений, n = m . n j .
Пример 2.
Вычислить среднюю ошибку определения марганца в пяти пробах стали с различным содержанием его. Значения анализа, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Решение.
По формуле (1) находят средние значения в каждой пробе, затем для каждой пробы рассчитывают квадраты разностей, по формуле (5) - погрешность.
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.
Значения квадратов разностей
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
Средняя погрешность для f = 4,5 – 5 = 15
s = 0,014 % (абс. при f =15 степеням свободы).
Когда проводят по два параллельных определения для каждого образца и находят значения х" и х" , для образцов уравнение преобразуется в выражение.
Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:
Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.
Относительная погрешность вычислений находится по формуле:
, или, то же самое:
Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.
После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала.
Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.
Вычислим абсолютную погрешность
:
Вычислим относительную погрешность:
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.
Ответ : , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 4
в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.
Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.
Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:
Пример 5
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке
Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:
Пример 6
Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.
Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах. Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д.
Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу
Записываем очевидную функцию
Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций . Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.
Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:
Таким образом :
После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы . Так, и только так!
В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: (формулы можно найти в той же таблице).
Дальнейшее шаблонно:
Таким образом : (при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.
Ответ:
Пример 7
Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.
Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .
Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.
Пример 8
Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .
А вот и рабочая формула:
Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же !
По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .
Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели
:
,
Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
,
И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть - надо его съесть.
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал функции в точке найдём по формуле:
Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .
Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :
Вычислим точное значение функции в точке :
Вот это значение является абсолютно точным.
Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:
Пример 9
Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: .
Общая закономерность таков а - чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.
Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).
Пример 10
Решение:
Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:
Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: . Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.
Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал в точке найдем по формуле:
Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .
Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:
;
.
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, приближенное значение данного выражения:
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527
Найдем относительную погрешность вычислений:
Ответ: ,
Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.
Пример 11
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий - это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:
Пример 12
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если
Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.
Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.
Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!
Решения и ответы:
Пример 2 :
Решение:
Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом:
Ответ:
Пример 4:
Решение:
Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом:
Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ:
, абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
Пример 5:
Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом
:
Ответ:
Пример 7:
Решение:
Используем формулу:
В данном случае: , ,
Абсолютная и относительная погрешность числа.
В качестве характеристик точности приближенных величин любого происхождения вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности этих величин.
Обозначим через а приближение к точному числу А.
Определени . Величина называется погрешностью приближенного числаа.
Определение
.
Абсолютной погрешностью
приближенного
числа а
называется
величина
.
Практически точное число А обычно неизвестно, но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность.
Определение . Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется наименьшая из верхних границ для величины , которую можно найти при данном способе получения числаа.
На практике в качестве выбирают одну из верхних границ для , достаточно близкую к наименьшей.
Поскольку
,
то
.
Иногда пишут:
.
Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения
и истинным (действительным) значением измеряемой величины.
Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не достаточны для характеристики точности измерения или вычисления. Качественно более существенна величина относительной погрешности.
Определение . Относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину:
Определение . Предельной относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину
Так как
.
Таким образом, относительная погрешность определяет фактически величину абсолютной погрешности, приходящейся на единицу измеряемого или вычисляемого приближенного числа а.
Пример. Округляя точные числа А до трех значащих цифр, определить
абсолютную Dи относительную δ погрешности полученных приближенных
Дано:
Найти:
∆-абсолютная погрешность
δ –относительная погрешность
Решение:
=|-13.327-(-13.3)|=0.027
,a0
*100%=0.203%
Ответ: =0,027; δ=0.203%
2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).
Верные знаки числа.
Определение . Значащей цифрой приближенного числа а называется всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он расположен между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.
Например, в числе
0,00507 =
имеем
3 значащие цифры, а в числе 0,005070=
значащие цифры,
т.е. нуль справа, сохраняя десятичный
разряд, является значащим.
Условимся впредь нули справа записывать, если только они являются значащими. Тогда, иначе говоря,
значащими являются все цифры числа а, кроме нулей слева.
В десятичной системе счисления всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы (десятичной дроби):
где
,
- первая значащая
цифра, m -
целое число, называемое старшим десятичным
разрядом числа а.
Например, 518,3 =, m=2.
Пользуясь записью , введем понятие о верных десятичных знаках (в значащих цифрах) приближенно-
го числа.
Определение . Говорят, что в приближенном числе а формы n - первых значащих цифр ,
где i= m, m-1,..., m-n+1 являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой:
В противном случае
последняя цифра
называется
сомнительной.
При записи приближенного числа без указания его погрешности требуют, чтобы все записанные цифры
были верными. Это требование соблюдено во всех математических таблицах.
Термин “n верных знаков” характеризует лишь степень точности приближенного числа и его не следует понимать так, что n первых значащих цифр приближенного числа а совпадает с соответствующими цифрами точного числа А. Например, у чисел А=10, а=9,997 все значащие цифры различны, но число а имеет 3 верных значащих цифры. Действительно, здесь m=0 и n=3 (находим подбором).
Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины a, b, c , ..., полученные при прямых измерениях
z = f (a, b, c,...) (1.11)
Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал
при надежности a и относительную погрешность.
Что касается, то оно находится путем подстановки в правую часть (11) вместо a, b, c ,... их средних значений
3. Оценить полуширину доверительного интервала для результата косвенных измерений
,
где производные... вычисляются при
4. Определить относительную погрешность результата
5. Если зависимость z от a, b, c ,... имеет вид , где k, l, m ‒ любые действительные числа, то сначала следует найти относительную ошибку
а затем абсолютную .
6. Окончательный результат записать в виде
z = ± Dz , ε = …% при a= … .
Примечание:
При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.
При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений :
Правило 1. При сложении и вычитании приближенных чисел необходимо:
а) выделить слагаемое, у которого сомнительная цифра имеет наиболее высокий разряд;
б) все остальные слагаемые округлить до следующего разряда (сохраняется одна запасная цифра);
в) произвести сложение (вычитание);
г) в результате отбросить последнюю цифру путем округления (разряд сомнительной цифры результата при этом совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых).
Пример: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.
В этих числах последние значащие цифры сомнительные (неверные уже отброшены). Запишем их в виде 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.
Видно, что у первого слагаемого сомнительная цифра 2 имеет наиболее высокий разряд (десятки). Округлив все другие числа до следующего разряда и сложив, получим
543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094·10 5 .
Правило 2. При умножении (делении) приближенных чисел необходимо:
а) выделить число (числа) с наименьшим количеством значащих цифр (ЗНАЧАЩИЕ – цифры отличные от ноля и ноли стоящие между ними );
б) округлить остальные числа так, чтобы в них было на одну значащую цифру больше (сохраняется одна запасная цифра), чем выделенном по п. а;
в) перемножить (разделить) полученные числа;
г) в результате оставить столько значащих цифр, сколько их было в числе (числах) с наименьшим количеством значащих цифр.
Пример: .
Правило 3. При возведении в степень, при извлечении корня в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе.
Пример: .
Правило 4. При нахождении логарифма числа мантисса логарифма должна иметь столько значащих цифр, сколько их в исходном числе:
Пример: .
В окончательной записиабсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру . (Если этой цифрой окажется 1, то после нее сохраняют еще одну цифру).
Среднее значение округляется до того же разряда, что и абсолютная погрешность.
Например: V = (375,21 0,03) см 3 = (3,7521 0,0003) см 3 .
I = (5,530 0,013) А, A = Дж.
Порядок выполнения работы
Определение диаметра цилиндра .
1. Штангенциркулем измерить 7 раз (в разных местах и направлениях) диаметр цилиндра. Результаты записать в таблицу.
№ п/п | d i , мм | d i - | (d i - ) 2 | h i , мм
и Похожая информация: |
Погрешности измеряемых и табличных величин обуславливают погрешности DХ ср косвенно определяемой величины, причем наибольший вклад в DХ ср дают наименее точные величины, имеющие максимальную относительную погрешность d . Поэтому, для повышения точности косвенных измерений, необходимо добиваться равноточности прямых измерений
(d А, d В, d С, …).
Правила нахождения погрешностей косвенных измерений:
1. Находят натуральный логарифм от заданной функции
ln{X = f(A,B,C,…)};
2. Находят полный дифференциал (по всем переменным) от найденного натурального логарифма заданной функции;
3. Заменяют знак дифференциала d на знак абсолютной погрешности D;
4. Заменяют все «минусы», стоящими перед абсолютными погрешностями DА, DВ, DС , … на «плюсы».
В результате получается формула наибольшей относительной погрешности d x косвенно измеренной величины Х:
d x = = j (A ср, B ср, C ср, …, DA ср, DB ср, DC ср, …). (18)
По найденной относительной погрешности d x определяют абсолютную погрешность косвенного измерения:
DХ ср = d x . Х ср . (19)
Результат косвенных измерений записывают в стандартном виде и изображают на числовой оси:
X = (X ср ± DХ ср), ед.изм. (20)
Пример :
Найти значения относительной и средней погрешностей физической величины L , определяемой косвенно по формуле:
, (21)
где π, g, t, k, α, β – величины, значения которых измерены или взяты из справочных таблиц и занесены в таблицу результатов измерений и табличных данных (подобную табл.1).
1. Вычисляют среднее значение L ср , подставляя в (21) средние значения из таблицы – π ср, g ср, t ср, k ср, α ср, β ср.
2. Определяют наибольшую относительную погрешность δ L :
a). Логарифмируют формулу (21):
b). Дифференцируют полученное выражение (22):
c).Заменяют знак дифференциала d на Δ, а «минусы» перед абсолютными погрешностями – на «плюсы», и получают выражение для наибольшей относительной погрешности δ L :
d). Подставляя в полученное выражение средние значения входящих величин и их погрешностей из таблицы результатов измерений, вычисляют δ L .
3. Затем вычисляют абсолютную погрешность ΔL ср :
Результат записывают в стандартном виде и изображают графически на оси L :
, ед. изм.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Измерение есть нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств - мер, измерительных приборов.
Мера есть средство измерений, воспроизводящее физическую величину заданного размера - единица измерения, ее кратное или дробное значение. Например, гири 1 кг, 5 кг, 10 кг.
Измерительный прибор есть средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. Измерительный прибор позволяет прямо или косвенно сравнивать измеряемую величину с мерами. Измерения также разделяют на прямые и косвенные.
При прямых измерениях искомое значение величины находят непосредственно из основных (опытных) данных.
При косвенных измерениях искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Принцип измерений есть совокупность физических явлений, на которых основаны измерения.
Метод измерений - совокупность приемов использования принципов и средств измерений. Значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующее свойство данного объекта есть истинное значение физической величины. Значение физической величины, найденное путем ее измерения есть результат измерения.
Отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины есть погрешность измерения.
Абсолютная погрешность измерения есть погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины и равная разности результата и истинного значения измеряемой величины. Отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины есть относительная погрешность измерения.
Вклад в погрешность измерения вносят погрешности средств измерений (инструментальная или приборная погрешность), несовершенство метода измерений, погрешность отсчитывания по шкале прибора, внешние влияния на средства и объекты измерений, запаздывание реакции человека на световой и звуковой сигналы.
По характеру проявления погрешности делят на систематические и случайные. Случайным называется событие, которое при заданном комплексе факторов может произойти или не произойти.
Случайная погрешность - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Характерным признаком случайных погрешностей является изменение величин и знака погрешности в неизменных условиях измерений.
Систематическая погрешность - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности в принципе могут быть исключены путем поправок, применением более точных приборов и методов (хотя на практике обнаружить систематическую погрешность не всегда легко). Исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений (теория вероятности) позволяет лишь установить обоснованную оценку их величины.
Погрешности прямых измерений
Положим, что систематические погрешности исключены и погрешности результатов измерений являются только случайными. Обозначим буквами - результаты измерений физической величины, истинное значение которого равно. Абсолютные погрешности результатов отдельных измерений обозначены:
Суммируя получено левые и правые стороны равенства (1), получим:
(2)
В основе теории случайных погрешностей лежат подтверждаемые опытом предположения:
погрешности могут принимать непрерывный ряд значений;
при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины. Необходимо также, чтобы погрешности были малы по сравнению с измеряемой величиной и независимы.
Согласно предположению (1) при числе измерений n получим
,
Однако, всегда число измерений конечно и остается неизвестным. Но для практических целей достаточно найти экспериментальным путем значение физической величины настолько приближающееся к истинному, чтоможет быть использована вместо истинного. Вопрос в том, как оценить степень этого приближения?
По теории вероятности среднее арифметическое серии измерений достовернее результатов отдельных измерений, т.к. случайные отклонения от истинного значения в разные стороны равновероятны. За вероятность появления величины a i в интервале шириной 2a i понимают относительную частоту появления значений a i , попадающих в интервал 2a i к числу всех появляющихся значений a i при числе опытов (измерений), стремящихся к бесконечности. Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю, т.е. 0 100 %.
Вероятность того, что искомая величина (истинное значение ее) содержится в интервале (a - a, a + a) назовем доверительной вероятностью (надежностью) , а соответствующий интервал (a - a, a + a) - доверительным интервалом; чем меньше величина погрешности a, тем меньше и вероятность того, что измеряемая величина содержится в интервале, определенной этой погрешностью. Верно и обратное утверждение: чем меньше надежность результата, тем уже доверительный интервал искомой величины.
При большом n (практически при n 100) полуширина доверительного интервала при заданной надежности равна
,
(3)
где K() = 1 при = 0,68; K() = 2 при = 0,95; K() = 3 при = 0,997.
При малом числе измерений, что чаще всего и встречается в студенческом лабораторном практикуме, коэффициент K()в (3) зависит не только от , но еще и от числа измерений n. Поэтому мы всегда будем при наличии только случайной погрешности полуширину доверительного интервала находить по формуле
(4)
В (4) коэффициент t n называется коэффициентом Стьюдента. Для = 0,95 принятой в студенческом практикуме, значения t n таковы:
Величину называют среднеквадратичной погрешностью среднего арифметического из серии измерений.
Погрешность прибора или меры обычно указывается в паспорте его (ее) или условным знаком на шкале прибора. Обычно под погрешностью прибора понимают полуширину интервала, внутри которого с вероятностью измерений 0,997 может быть заключена измеряемая величина, если погрешность измерений обусловлена только погрешностью прибора. В качестве общей (полной) погрешности результата измерений примем с вероятностью = 0,95
Абсолютная погрешность позволяет установить в каком знаке полученного результата содержится неточность. Относительная погрешность дает информацию о том, какую долю (процент) измеряемой величины составляет погрешность (полуширина доверительного интервала).
Окончательный результат серии прямых измерений величины a 0 запишем в виде
.
Например
(6)
Таким образом, любая физическая величина, найденная опытным путем, должна быть представлена: