Броуновское движение можно наблюдать. Физические явления: броуновское движение. Сущность Броуновского движения
Броуновское движение бро́уновское движе́ние
(брауновское движение), беспорядочное движение мельчайших частиц, взвешенных в жидкости или газе, под влиянием ударов молекул окружающей среды; открыто Р. Броуном.
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕБРО́УНОВСКОЕ ДВИЖЕ́НИЕ (брауновское движение), беспорядочное движение мельчайших частиц, взвешенных в жидкости или газе, происходящее под действием ударов молекул окружающей среды; открыто Р. Броуном (см.
БРОУН Роберт (ботаник))
в 1827 г.
При наблюдении в микроскопе взвеси цветочной пыльцы в воде Броун наблюдал хаотичное движение частиц, возникающее «не от движения жидкости и не от ее испарения». Видимые только под микроскопом взвешенные частицы размером 1 мкм и менее совершали неупорядоченные независимые движения, описывая сложные зигзагообразные траектории. Броуновское движение не ослабевает со временем и не зависит от химических свойств среды, его интенсивность увеличивается с ростом температуры среды и с уменьшением ее вязкости и размеров частиц. Даже качественно объяснить причины броуновского движения удалось только через 50 лет, когда причину броуновского движения стали связывать с ударами молекул жидкости о поверхность взвешенной в ней частицы.
Первая количественная теория броуновского движения была дана А. Эйнштейном (см.
ЭЙНШТЕЙН Альберт)
и М. Смолуховским (см.
СМОЛУХОВСКИЙ Мариан)
в 1905-06 гг. на основе молекулярно-кинетической теории. Было показано, что случайные блуждания броуновских частиц связаны с их участием в тепловом движении наравне с молекулами той среды, в которой они взвешены.
Частицы обладают в среднем такой же кинетической энергией, но из-за большей массы имеют меньшую скорость. Теория броуновского движения объясняет случайные движения частицы действием случайных сил со стороны молекул и сил трения. Согласно этой теории, молекулы жидкости или газа находятся в постоянном тепловом движении, причем импульсы различных молекул не одинаковы по величине и направлению. Если поверхность частицы, помещенной в такую среду, мала, как это имеет место для броуновской частицы, то удары, испытываемые частицей со стороны окружающих ее молекул, не будут точно компенсироваться. Поэтому в результате «бомбардировки» молекулами броуновская частица приходит в беспорядочное движение, меняя величину и направление своей скорости примерно 10 14 раз в сек. Из этой теории следовало, что, измерив смещение частицы за определенное время и зная ее радиус и вязкость жидкости можно вычислить число Авогадро (см.
АВОГАДРО ПОСТОЯННАЯ)
.
Выводы теории броуновского движения были подтверждены измерениями Ж. Перрена (см.
ПЕРРЕН Жан Батист)
и Т. Сведберга (см.
СВЕДБЕРГ Теодор)
в 1906 г. На основе этих соотношений были экспериментально определены постоянная Больцмана (см.
БОЛЬЦМАНА ПОСТОЯННАЯ)
и постоянная Авогадро.
При наблюдении броуновского движения фиксируется положение частицы через равные промежутки времени. Чем короче промежутки времени, тем более изломанной будет выглядеть траектория движения частицы.
Закономерности броуновского движения служат наглядным подтверждением фундаментальных положений молекулярно-кинетической теории. Было окончательно установлено, что тепловая форма движения материи обусловлена хаотическим движением атомов или молекул, из которых состоят макроскопические тела.
Теория броуновского движения сыграла важную роль в обосновании статистической механики, на ней основана кинетическая теория коагуляции водных растворов. Помимо этого, она имеет и практическое значение в метрологии, так как броуновское движение рассматривают как основной фактор, ограничивающий точность измерительных приборов. Например, предел точности показаний зеркального гальванометра определяется дрожанием зеркальца, подобно броуновской частице бомбардируемого молекулами воздуха. Законами броуновского движения определяется случайное движение электронов, вызывающее шумы в электрических цепях. Диэлектрические потери в диэлектриках объясняются случайными движениями молекул-диполей, составляющих диэлектрик. Случайные движения ионов в растворах электролитов увеличивают их электрическое сопротивление.
Энциклопедический словарь . 2009 .
Смотреть что такое "броуновское движение" в других словарях:
- (брауновское движение), беспорядочное движение малых ч ц, взвешенных в жидкости или газе, происходящее под действием ударов молекул окружающей среды. Исследовано в 1827 англ. учёным Р. Броуном (Браун; R. Brown), к рый наблюдал в микроскоп… … Физическая энциклопедия
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ - (Brown), движение мельчайших частиц, взвешенных в жидкости, происходящее под действием столкновений между этими частицами и молекулами жидкости. Впервые оно было замечено под микроскопом англ. ботаником Броу ном в 1827 г. Если в поле зрения… … Большая медицинская энциклопедия
- (брауновское движение) беспорядочное движение мельчайших частиц, взвешенных в жидкости или газе, под влиянием ударов молекул окружающей среды; открыто Р. Броуном … Большой Энциклопедический словарь
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ, неупорядоченное, зигзагообразное движение частиц, взвешенных в потоке (жидкости или газа). Вызывается неравномерностью бомбардировки более крупных частиц с разных сторон более мелкими молекулами движущегося потока. Это… … Научно-технический энциклопедический словарь
броуновское движение - – колебательное, вращательное или поступательное движение частиц дисперсной фазы под действием теплового движения молекул дисперсионной среды. Общая химия: учебник / А. В. Жолнин … Химические термины
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ - бес порядочное движение мельчайших частиц, взвешенных в жидкости или газе, под влиянием ударов молекул окружающей среды, находящихся в тепловом движении; играет важную роль в некоторых физ. хим. процессах, ограничивает точность… … Большая политехническая энциклопедия
броуновское движение - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN Brownian motion … Справочник технического переводчика
Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия
Непрерывное хаотичное движение микроскопических частиц, взвешенных в газе или жидкости, обусловленное тепловым движением молекул окружающей среды. Это явление впервые было описано в 1827 шотландским ботаником Р.Броуном, исследовавшим под… … Энциклопедия Кольера
Правильнее брауновское движение, беспорядочное движение малых (размерами в нескольких мкм и менее) частиц, взвешенных в жидкости или газе, происходящее под действием толчков со стороны молекул окружающей среды. Открыто Р. Броуном в 1827.… … Большая советская энциклопедия
Книги
- Броуновское движение вибратора , Ю.А. Крутков , Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1935 года (издательство`Известия академии наук СССР`). В… Категория: Математика Издатель:
Сегодня мы подробно рассмотрим важную тему - дадим определение броуновскому движению маленьких кусочков материи в жидкости или газе.
Карта и координаты
Некоторые школьники, замученные скучными уроками, не понимают, зачем изучать физику. А между тем, именно эта наука когда-то позволила открыть Америку!
Начнем издалека. Древним цивилизациям Средиземноморья в каком-то смысле повезло: они развивались на берегу закрытого внутреннего водоема. Средиземное море потому так и называется, что оно со всех сторон окружено сушей. И древние путешественники могли довольно далеко продвинуться со своей экспедицией, не теряя из вида берегов. Очертания суши помогали ориентироваться. И первые карты составлялись скорее описательно, чем географически. Благодаря этим относительно недалеким плаваниям греки, финикийцы и египтяне хорошо научились строить корабли. А где лучшее оборудование - там и стремление раздвинуть границы своего мира.
Поэтому в один прекрасный день европейские державы решили выйти в океан. Во время плавания по бескрайним просторам между материками моряки долгие месяцы видели только воду, и им надо было как-то ориентироваться. Определить свои координаты помогло изобретение точных часов и качественного компаса.
Часы и компас
Изобретение маленьких ручных хронометров очень выручило мореплавателей. Чтобы точно определить, где они находятся, им надо было иметь простейший инструмент, который измерял высоту солнца над горизонтом, и знать, когда именно полдень. А благодаря компасу капитаны судов знали, куда они направляются. И часы, и свойства магнитной стрелки изучали и создавали физики. Благодаря этому европейцам был открыт весь мир.
Новые континенты представляли собой terra incognita, неизведанные земли. На них росли странные растения и водились непонятные животные.
Растения и физика
Все естествоиспытатели цивилизованного мира ринулись изучать эти новые странные экологические системы. И конечно же, они стремились извлечь из них выгоду.
Роберт Броун был английским ботаником. Он совершал поездки в Австралию и на Тасманию, собирал там коллекции растений. Уже дома, в Англии, он много работал над описанием и классификацией привезенного материала. И ученый этот был очень дотошным. Однажды, наблюдая за движением пыльцы в соке растений, он заметил: мелкие частицы постоянно совершают хаотические зигзагообразные перемещения. В этом и состоит определение броуновского движения мелких элементов в газах и жидкостях. Благодаря открытию потрясающий ботаник вписал свое имя в историю физики!
Броун и Гуи
В европейской науке так принято: называть эффект или явление именем того, кто его обнаружил. Но часто это бывает случайно. А вот человек, который описывает, открывает важность или более подробно исследует физический закон, оказывается в тени. Так случилось и с французом Луи Жоржем Гуи. Именно он дал определение броуновскому движению (7 класс о нем точно не слышит, когда изучает эту тему по физике).
Исследования Гуи и свойства броуновского движения
Французский экспериментатор Луи Жорж Гуи наблюдал движение разного типа частиц в нескольких жидкостях, в том числе и в растворах. Наука того времени уже умела точно определять размер кусочков вещества до десятых долей микрометра. Исследуя, что такое броуновское движение (определение в физике этому явлению дал именно Гуи), ученый понял: интенсивность перемещения частиц увеличивается, если их поместить в менее вязкую среду. Будучи экспериментатором широкого спектра, он подвергал взвесь действию света и электромагнитных полей различной мощности. Ученый выяснил, что эти факторы никак не влияют на хаотические зигзагообразные скачки частиц. Гуи однозначно показал, что доказывает броуновское движение: тепловое перемещение молекул жидкости или газа.
Коллектив и масса
А теперь подробнее опишем механизм зигзагообразных скачков небольших кусочков материи в жидкости.
Любое вещество состоит из атомов или молекул. Эти элементы мира очень маленькие, ни один оптический микроскоп не способен их увидеть. В жидкости они все время колеблются и перемещаются. Когда любая видимая частица попадает в раствор, ее масса в тысячи раз больше одного атома. Броуновское движение молекул жидкости совершается хаотически. Но тем не менее все атомы или молекулы представляют собой коллектив, они связаны друг с другом, как люди, которые взялись за руки. Поэтому иногда так случается, что атомы жидкости с одной стороны частицы движутся так, что «давят» на нее, при этом с другой стороны от частицы создается менее плотная среда. Поэтому пылинка перемещается в пространстве раствора. В другом месте коллективное движение молекул жидкости случайно действует на другую сторону более массивного компонента. Именно так и совершается броуновское движение частиц.
Время и Эйнштейн
Если вещество обладает ненулевой температурой, его атомы совершают тепловые колебания. Поэтому даже в очень холодной или переохлажденной жидкости существует броуновское движение. Эти хаотические перескоки маленьких взвешенных частиц никогда не прекращаются.
Альберт Эйнштейн, пожалуй, самый знаменитый ученый двадцатого века. Всем, кто хоть сколько-нибудь интересуется физикой, известна формула E = mc 2 . Также многие могут вспомнить о фотоэффекте, за который ему дали Нобелевскую премию, и о специальной теории относительности. Но мало кто знает, что Эйнштейн разработал формулу для броуновского движения.
На основании молекулярно-кинетической теории ученый вывел коэффициент диффузии взвешенных частиц в жидкости. И произошло это в 1905 году. Формула выглядит так:
D = (R * T) / (6 * N A * a * π * ξ),
где D - искомый коэффициент, R - это универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура (выражается в Кельвинах), N A — постоянная Авогадро (соответствует одному молю вещества, или примерно 10 23 молекул), a — приблизительный средний радиус частиц, ξ — динамическая вязкость жидкости или раствора.
А уже в 1908 году французский физик Жан Перрен со своими студентами экспериментально доказали верность вычислений Эйнштейна.
Одна частица в поле воин
Выше мы описывали коллективное воздействие среды на много частиц. Но и один чужеродный элемент в жидкости может дать некоторые закономерности и зависимости. Например, если наблюдать за броуновской частицей долгое время, то можно зафиксировать все ее перемещения. И из этого хаоса возникнет стройная система. Среднее продвижение броуновской частицы вдоль какого-то одного направления пропорционально времени.
При экспериментах над частицей в жидкости были уточнены следующие величины:
- постоянная Больцмана;
- число Авогадро.
Помимо линейного движения, также свойственно хаотическое вращение. И среднее угловое смещение также пропорционально времени наблюдения.
Размеры и формы
После таких рассуждений может возникнуть закономерный вопрос: почему этот эффект не наблюдается для больших тел? Потому что когда протяженность погруженного в жидкость объекта больше определенной величины, то все эти случайные коллективные «толчки» молекул превращаются в постоянное давление, так как усредняются. И на тело уже действует общая Архимеда. Таким образом, большой кусок железа тонет, а металлическая пыль плавает в воде.
Размер частиц, на примере которых выявляется флуктуация молекул жидкости, не должен превышать 5 микрометров. Что касается объектов с большими размерами, то здесь этот эффект заметен не будет.
Броуновское движение
Из Броуновское движение (энциклопедия Элементы)
Во второй половине ХХ века в научных кругах разгорелась нешуточная дискуссия о природе атомов. На одной стороне выступали неопровержимые авторитеты, такие как Эрнст Мах (см. Ударные волны), который утверждал, что атомы — суть просто математические функции, удачно описывающие наблюдаемые физические явления и не имеющие под собой реальной физической основы. С другой стороны, ученые новой волны — в частности, Людвиг Больцман (см. Постоянная Больцмана) — настаивали на том, что атомы представляют собой физические реалии. И ни одна из двух сторон не сознавала, что уже за десятки лет до начала их спора получены экспериментальные результаты, раз и навсегда решающие вопрос в пользу существования атомов как физической реальности, — правда, получены они в смежной с физикой дисциплине естествознания ботаником Робертом Броуном.
Еще летом 1827 года Броун, занимаясь изучением поведения цветочной пыльцы под микроскопом (он изучал водную взвесь пыльцы растения Clarkia pulchella ), вдруг обнаружил, что отдельные споры совершают абсолютно хаотичные импульсные движения. Он доподлинно определил, что эти движения никак не связаны ни с завихрениями и токами воды, ни с ее испарением, после чего, описав характер движения частиц, честно расписался в собственном бессилии объяснить происхождение этого хаотичного движения. Однако, будучи дотошным экспериментатором, Броун установил, что подобное хаотичное движение свойственно любым микроскопическим частицам, — будь то пыльца растений, взвеси минералов или вообще любая измельченная субстанция.
Лишь в 1905 году не кто иной, как Альберт Эйнштейн, впервые осознал, что это таинственное, на первый взгляд, явление служит наилучшим экспериментальным подтверждением правоты атомной теор ии строения вещества. Он объяснил его примерно так: взвешенная в воде спора подвергается постоянной «бомбардировке» со стороны хаотично движущихся молекул воды. В среднем, молекулы воздействуют на нее со всех сторон с равной интенсивностью и через равные промежутки времени. Однако, как бы ни мала была спора, в силу чисто случайных отклонений сначала она получает импульс со стороны молекулы, ударившей ее с одной стороны, затем — со стороны молекулы, ударившей ее с другой и т. д. В результате усреднения таких соударений получается, что в какой-то момент частица «дергается» в одну сторону, затем, если с другой стороны ее «толкнуло» больше молекул — в другую и т. д. Использовав законы математической статистики и молекулярно-кинетической теор ии газов, Эйнштейн вывел уравнение, описывающее зависимость среднеквадратичного смещения броуновской частицы от макроскопических показателей. (Интересный факт: в одном из томов немецкого журнала «Анналы физики» (Annalen der Physik ) за 1905 год были опубликованы три статьи Эйнштейна: статья с теор етическим разъяснением броуновского движения, статья об основах специальной теор ии относительности и, наконец, статья с описанием теор ии фотоэлектрического эффекта . Именно за последнюю Альберт Эйнштейн был удостоен Нобелевской премии по физике в 1921 году.)
В 1908 году французский физик Жан Батист Перрен (Jean-Baptiste Perrin, 1870-1942) провел блестящую серию опытов, подтвердивших правильность эйнштейновского объяснения феномена броуновского движения. Стало окончательно ясно, что наблюдаемое «хаотичное» движение броуновских частиц — следствие межмолекулярных соударений. Поскольку «полезные математические условности» (по Маху) не могут привести к наблюдаемым и совершенно реальным перемещениям физических частиц, стало окончательно ясно, что спор о реальности атомов окончен: они существуют в природе. В качестве «призовой игры» Перрену досталась выведенная Эйнштейном формула, которая позволила французу проанализировать и оценить среднее число атомов и/или молекул, соударяющихся с взвешенной в жидкости частицей за заданный промежуток времени и, через этот показатель, рассчитать молярные числа различных жидкостей. В основе этой идеи лежал тот факт, что в каждый данный момент времени ускорение взвешенной частицы зависит от числа соударений с молекулами среды (см. Законы механики Ньютона), а значит, и от числа молекул в единице объема жидкости. А это не что иное, как число Авогадро (см. Закон Авогадро) — одна из фундаментальных постоянных, определяющих строение нашего мира.
Из Броуновское движение В любой среде существуют постоянные микроскопические флуктуации давления. Они, воздействуя на помещенные в среду частицы, приводят к их случайным перемещениям. Это хаотическое движение мельчайших частиц в жидкости или газе называется броуновским движением, а сама частица - броуновской.Что такое Броуновское движение
Это движение характеризуется следующими чертами:
- продолжается неограниченно долго без каких бы то ни было видимых изменений,
- интенсивность движения броуновских частиц зависит от их размеров, но не зависит от их природы,
- интенсивность возрастает с ростом температуры,
- интенсивность возрастает с уменьшением вязкости жидкости или газа.
Броуновское движение не является молекулярным движением, но служит непосредственным доказательством существования молекул и хаотического характера их теплового движения.
Сущность Броуновского движения
Сущность этого движения в следующем. Частица вместе с молекулами жидкости или газа образуют одну статистическую систему. В соответствии с теоремой о равномерном распределении энергии по степени свободы на каждую степень свободы приходится 1/2kT энергии. Энергия 2/3kT, приходящаяся на три поступательные степени свободы частицы, приводит к движению ее центра масс, которое наблюдается под микроскопом в виде дрожания частицы. Если броуновская частица достаточно жесткая, то еще 3/2kT энергии приходится на ее вращательные степени свободы. Поэтому при своем дрожании она испытывает еще и постоянные изменения ориентировки в пространстве.
Можно объяснить броуновское движение и так: причиной Броуновского движения являются флуктуации давления, которое оказывается на поверхность малой частицы со стороны молекул среды. Сила и давление изменяется по модулю и направлению, в результате чего частица находится в беспорядочном движении.
Движение броуновской частицы является случайным процессом. Вероятность (dw) того, что броуновская частица, находившаяся в однородной изотропной среде в начальный момент времени (t=0) в начале координат, сместится вдоль произвольно направленной (при t$>$0) оси Ox так, что ее координата будет лежать в интервале от x до x+dx, равна:
где $\triangle x$- малое изменение координаты частицы, вследствие флуктуации.
Рассмотрим положение Броуновской частицы через некоторые фиксированные промежутки времени. Начало координат поместим в точку, в которой частица находилась при t=0. Обозначим $\overrightarrow{q_i}$ -- вектор , который характеризует перемещение частицы между (i-1) и i наблюдениями. По истечении n наблюдений частица сместится из нулевого положения в точку с радиус-вектором $\overrightarrow{r_n}$. При этом:
\[\overrightarrow{r_n}=\sum\limits^n_{i=1}{\overrightarrow{q_i}}\left(2\right).\]
Перемещения частицы происходит по сложной ломаной линии все время наблюдений.
Найдем средний квадрат удаления частицы от начала после n шагов в большой серии опытов:
\[\left\langle r^2_n\right\rangle =\left\langle \sum\limits^n_{i,j=1}{q_iq_j}\right\rangle =\sum\limits^n_{i=1}{\left\langle {q_i}^2\right\rangle }+\sum\limits^n_{i\ne j}{\left\langle q_iq_j\right\rangle }\left(3\right)\]
где $\left\langle q^2_i\right\rangle $- средний квадрат смещения частицы на i- м шаге в серии опытов (он для всех шагов одинаков и равен какой-то положительной величине a2), $\left\langle q_iq_j\right\rangle $- является средней величиной скалярного произведения при i-м шаге на перемещение при j-м шаге в различных опытах. Эти величины независимы друг от друга, одинаково часто встречаются как положительные значения скалярного произведения, так и отрицательные. Поэтому, считаем, что $\left\langle q_iq_j\right\rangle $=0 при$\ i\ne j$. Тогда имеем из (3):
\[\left\langle r^2_n\right\rangle =a^2n=\frac{a^2}{\triangle t}t=\alpha t=\left\langle r^2\right\rangle \left(4\right),\]
где $\triangle t$- промежуток времени между наблюдениями; t=$\triangle tn$ - время, в течение которого средний квадрат удаления частицы стал равен $\left\langle r^2\right\rangle .$ Получаем, что частица удаляется от начала. Существенно то, что средний квадрат удаления растет пропорционально первой степени времени. $\alpha \ $- можно найти экспериментально, а можно теоретически, как будет показано в примере 1.
Броуновская частица движется не только поступательно, но и вращаясь. Среднее значение угла поворота $\triangle \varphi $ броуновской частицы за время t равно:
\[{\triangle \varphi }^2=2D_{vr}t(5),\]
где $D_{vr}$ -- коэффициент вращательной диффузии. Для сферической броуновской частицы радиуса - а $D_{vr}\ $ равен:
где $\eta $ - коэффициент вязкости среды.
Броуновское движение ограничивает точность измерительных приборов. Предел точности зеркального гальванометра определяется дрожание зеркальца, подобно броуновской частице, которая подвергается ударам молекул воздуха. Случайное движение электронов вызывает шумы в электрических сетях.
Пример 1
Задание: Для того, чтобы математически полно охарактеризовать броуновское движение, надо найти $\alpha $ в формуле $\left\langle r^2_n\right\rangle =\alpha t$. Считать коэффициент вязкости жидкости известным и равным b, температура жидкости T.
Запишем уравнение движения броуновской частицы в проекции на ось Ox:
где m -- масса частицы, $F_x$ -- случайная сила, действующая на частицу, $b\dot{x}$- член уравнения, характеризующий силу трения, действующая на частицу в жидкости.
Аналогичный вид имеют уравнения для величин, относящиеся к другим координатным осям.
Умножим обе части уравнения (1.1) на x, а члены $\ddot{x}x\ и\ \dot{x}x$ преобразуем:
\[\ddot{x}x=\ddot{\left(\frac{x^2}{2}\right)}-(\dot{x})^2,\dot{x}x=(\frac{x^2}{2}\)(1.2)\]
Тогда уравнение (1.1) приведем к виду:
\[\frac{m}{2}(\ddot{x^2})-m(\dot{x})^2=-\frac{b}{2}\left(\dot{x^2}\right)+F_xx\ (1.3)\]
Усредним обе части этого уравнения по ансамблю броуновских частиц, учитывая при этом, что средняя от производной по времени равна производной от средней величины, так как это усреднение по ансамблю частиц, и, значит, переставим операцией дифференцирования по времени. В результате усреднения (1.3) получаем:
\[\frac{m}{2}\left(\left\langle \ddot{x^2}\right\rangle \right)-\left\langle m(\dot{x})^2\right\rangle =-\frac{b}{2}\left(\dot{\left\langle x^2\right\rangle }\right)+\left\langle F_xx\right\rangle \ \left(1.4\right).\]
Так как отклонения броуновской частицы в любом направлении равновероятны, то:
\[\left\langle x^2\right\rangle =\left\langle y^2\right\rangle =\left\langle z^2\right\rangle =\frac{\left\langle r^2\right\rangle }{3}\left(1.5\right)\]
Используем $\left\langle r^2_n\right\rangle =a^2n=\frac{a^2}{\triangle t}t=\alpha t=\left\langle r^2\right\rangle $, получаем $\left\langle x^2\right\rangle =\frac{\alpha t}{3}$, следовательно: $\dot{\left\langle x^2\right\rangle }=\frac{\alpha }{3}$, $\left\langle \ddot{x^2}\right\rangle =0$
Из-за случайного характера силы $F_x$ и координаты частицы x и их независимости друг от друга должно выполняться равенство $\left\langle F_xx\right\rangle =0$, тогда (1.5) сводится к равенству:
\[\left\langle m{\dot{\left(x\right)}}^2\right\rangle =\frac{\alpha b}{6}\left(1.6\right).\]
По теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы:
\[\left\langle m{\dot{\left(x\right)}}^2\right\rangle =kT\left(1.7\right).\] \[\frac{\alpha b}{6}=kT\to \alpha =\frac{6kT}{b}.\]
Таким образом, получим формулу для решения задачи о Броуновском движении:
\[\left\langle r^2\right\rangle =\frac{6kT}{b}t\]
Ответ: Формула $\left\langle r^2\right\rangle =\frac{6kT}{b}t$ решает задачу о броуновском движении взвешенных частиц.
Пример 2
Задание: Частицы гуммигута сферической формы радиуса r участвуют в броуновском движении в газе. Плотность гуммигута $\rho $. Найти среднеквадратичную скорость частиц гуммигута при температуре T.
Среднеквадратичная скорость молекул равна:
\[\left\langle v^2\right\rangle =\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}\left(2.1\right)\]
Броуновская частица находится в равновесии с веществом, в котором она находится, и мы можем рассчитать ее среднеквадратичную скорость, используя формулу для скорости молекул газа, которые, в свою очередь, двигаясь, заставляют перемещаться броуновскую частицу. Для начала найдем массу частицы:
\[\left\langle v^2\right\rangle =\sqrt{\frac{9kT}{4\pi R^3\rho }}\]
Ответ: Скорость частицы гуммигута взвешенного в газе можно найти как $\left\langle v^2\right\rangle =\sqrt{\frac{9kT}{4\pi R^3\rho }}$.
При наблюдении в микроскопе взвеси цветочной пыльцы в воде Броун наблюдал хаотичное движение частиц, возникающее «не от движения жидкости и не от ее испарения». Видимые только под микроскопом взвешенные частицы размером 1 мкм и менее совершали неупорядоченные независимые движения, описывая сложные зигзагообразные траектории. Броуновское движение не ослабевает со временем и не зависит от химических свойств среды, его интенсивность увеличивается с ростом температуры среды и с уменьшением ее вязкости и размеров частиц. Даже качественно объяснить причины броуновского движения удалось только через 50 лет, когда причину броуновского движения стали связывать с ударами молекул жидкости о поверхность взвешенной в ней частицы.
Первая количественная теория броуновского движения была дана А. Эйнштейном и М. Смолуховским в 1905-06 гг. на основе молекулярно-кинетической теории. Было показано, что случайные блуждания броуновских частиц связаны с их участием в тепловом движении наравне с молекулами той среды, в которой они взвешены. Частицы обладают в среднем такой же кинетической энергией, но из-за большей массы имеют меньшую скорость. Теория броуновского движения объясняет случайные движения частицы действием случайных сил со стороны молекул и сил трения. Согласно этой теории, молекулы жидкости или газа находятся в постоянном тепловом движении, причем импульсы различных молекул не одинаковы по величине и направлению. Если поверхность частицы, помещенной в такую среду, мала, как это имеет место для броуновской частицы, то удары, испытываемые частицей со стороны окружающих ее молекул, не будут точно компенсироваться. Поэтому в результате «бомбардировки» молекулами броуновская частица приходит в беспорядочное движение, меняя величину и направление своей скорости примерно 10 14 раз в сек. Из этой теории следовало, что, измерив смещение частицы за определенное время и зная ее радиус и вязкость жидкости можно вычислить число Авогадро .
При наблюдении броуновского движения фиксируется положение частицы через равные промежутки времени. Чем короче промежутки времени, тем более изломанной будет выглядеть траектория движения частицы.
Закономерности броуновского движения служат наглядным подтверждением фундаментальных положений молекулярно-кинетической теории. Было окончательно установлено, что тепловая форма движения материи обусловлена хаотическим движением атомов или молекул, из которых состоят макроскопические тела.
Теория броуновского движения сыграла важную роль в обосновании статистической механики, на ней основана кинетическая теория коагуляции водных растворов. Помимо этого, она имеет и практическое значение в метрологии, так как броуновское движение рассматривают как основной фактор, ограничивающий точность измерительных приборов. Например, предел точности показаний зеркального гальванометра определяется дрожанием зеркальца, подобно броуновской частице бомбардируемого молекулами воздуха. Законами броуновского движения определяется случайное движение электронов, вызывающее шумы в электрических цепях. Диэлектрические потери в диэлектриках объясняются случайными движениями молекул-диполей, составляющих диэлектрик. Случайные движения ионов в растворах электролитов увеличивают их электрическое сопротивление.